Question

已知，如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于D，直线PM从点C出发沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持PM⊥BC，直线PM交BC于P，交AC于点M；过点P作PQ⊥AB，交AB于Q，交AD于点N，连接QM，设运动时间是t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，QM∥BC？
（2）设四边形ANPM的面积为y（cm²），试求出y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使y的值最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）QM∥BC，可以得到△BQP∽△QPM，∴QP²=BP•QM，CP=t，AB=AC=10cm，BC=12cm，利用三角函数的比值即可以求得答案．
（2））由△PND∽△BQP∽△ABD，得到

BD

AD

=

DN

PD

，即：

6

8

=

DN

6-t

，∴DN=

18-3t

4

，同理，PM=

4t

3

，根据四边形的面积等于△ACD的面积-△PDN的面积-△PCM的面积可以得到答案．
（3）由（2）的解析式，求顶点坐标可以得到答案．
（4）若点M在线段PQ的垂直平分线上，则MQ=MP，构造关于t的方程，得到答案．

解答：解：（1）因为QM∥BC，
∴△BQP∽△QPM，
∴QP²=BP•QM，∠B=∠QPM，
∵AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于D，
∴CD=BD=6cm，=8cm，sinB=

QP

BP

=

QM

QP

=

8

10

=

4

5

，
又∵CP=t，
∴BP=12-t，
∴QP=

48-4t

5

，QM=

192-16t

25

，
∴(

48-4t

5

)2=(12-t)(

192-16t

25

)，
解得：t=

54

17

．

（2）∵△PND∽△BQP∽△ABD，
∴

BD

AD

=

DN

PD

，
即：

6

8

=

DN

6-t

，
∴DN=

18-3t

4

，
同理，PM=

4t

3

，
所以y=

1

2

×6×8-

1

2

(6-t)•

18-3t

4

-

1

2

t•

4

3

t=-

25

24

t2+

9

2

t+

21

2

（3）由y=-

25

24

t2+

9

2

t+

21

2

=-

25

24

(x-

54

25

)2+

384

25

，
所以当t=

54

25

时存在最大值．

（4）若点M在线段PQ的垂直平分线上，
则有MQ=MP，
由（1）（2）知道，QM=

192-16t

25

，PM=

4t

3

，
所以

192-16t

25

=

4t

3

，
解得：t=4．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质的综合应用，以及和二次函数结合求最值的方法，学会综合知识的运用是解题的关键．