Question

如图（1），四边形ABCD和BEFC都是平行四边形，其中，A、B、E在一条直线上．已知AD=6，AB=BE=2，∠E=．

如图（2），将四边形ABCD沿直线l平移，移动后，形成四边形AEFD．

1）在平移过程中，四边形AEFD是否可以为矩形？如果可以，请直接写出矩形的面积；如果不可以，请说明理由；

（2）试探究：如何平移，可以使得四边形AEFD为菱形？（借助备用图，写出具体过程和结论）

Answer 1

（1）12cm²；     ……………………（2分）

（2）①如图，若四边形ABCD沿直线l向右平移形成菱形，过点A做AP⊥直线l，

    ∵∠AB′P＝60，∴∠B′AP＝30．∵AB＝2，∴B′P＝A B′＝1．

     在Rt△AB′P中，根据勾股定理，得 AP²＝ AB′²－B′P²，  ∴AP＝．

     ∵四边形AEFD为菱形，∴AE＝AD＝6．

     根据题意有A B′∥EB，∴∠EBQ＝∠A B′Q．

在△A B′Q和△EBQ中，

∠A B′Q ＝∠EBQ，

∠AQ B′＝∠EQB，

AB′＝EB,

．

∵四边形AEFD为菱形，∴AE＝AD＝6．

根据题意有A B′∥EB，∴∠EBQ＝∠A B′Q .

在△A B′Q和△EBQ中，

∠A B′Q ＝∠EBQ，

∠AQ B′＝∠EQB，

AB′＝EB，

∴△A B′Q≌△EBQ．

∴AQ＝AE＝3，BQ＝ B′Q＝BB′．

在Rt△AQP中，根据勾股定理，得 QP²＝ AQ²－ AP²

∴QP＝．

∵B′Q＝ QP＋B′P＝＋1，

∴BB′＝2＋2，即四边形ABCD沿直线l向左平移（2＋2）cm可以得到菱形AEFD．