Question

【题目】如图，已知抛物线与轴交于，两点（点位于点左侧），与轴交于点，连接．点为抛物线的顶点，点为．

（1）点是第四象限内抛物线上的一点，过点作轴交抛物线于点，作轴于点，作轴于点，点在点右边．点是直线上一个动点，点是直线上一个动点，当四边形的周长最大时，求的最小值；

（2）如图2，将原抛物线绕其对称轴与轴的交点旋转得新的抛物线，点，的对应点分别记为，，把抛物线沿直线平移，，的对应点分别记为，是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）的最小值为；（2）存在，或或．

【解析】

(1) 设，则．然后再确定抛物线的对称轴以及开口方向,即可确定最值；

（2）由题意知，抛物线绕其对称轴与轴的交点旋转得抛物线，点的对应与点重合．设，，然后利用勾股定理得到；然后就和分别解答即可．

解：（1），，，．

设，则．

抛物线的对称轴为，

．

矩形的周长

．

此函数的图象为抛物线，其对称轴为，且．

，

当时，矩形的周长最大，此时点的坐标为．

作点关于的对称点，

，

作于交于，此时最小，的最小值．

延长交于，可求得，，

的最小值．

（2）由题意知，抛物线绕其对称轴与轴的交点旋转得抛物线，点的对应与点重合．

设，，

则，

，

①当时，

即

．

化简后解得．

②当时，，

即．

化简后解得．

综上所述，或或．