Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）．
（1）求此函数的解析式和对称轴；
（2）试探索抛物线的对称轴上存在几个点P，使三角形PAB是直角三角形，并求出点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3），
∴，
解得，
∴此函数的解析式为y=x²-2x-3，
对称轴为直线x=-=-=1，
即直线x=1；

（2）设对称轴与x轴的交点为D，则AD=3-1=2，
①如图1，点A是直角顶点时，过点B作BE⊥x轴于E，
∵A（3，0），B（2，-3），
∴BE=3，AE=3-2=1，
∵∠PAD+∠BAE=∠PAB=90°，
∠PAD+∠APD=180°-90°=90°，
∴∠APD=∠BAE，
又∵∠ADP=∠AEB=90°，
∴△ABE∽△PAD，
∴=，
即=，
解得PD=，
∴点P的坐标为（1，）；

②如图2，点B是直角顶点时，过点B作BE⊥x轴于E，作BF⊥对称轴与F，
则AE=1，BF=2-1=1，DF=BE=3，
∵∠ABE+∠PBE=90°，
∠PBF+∠PBE=90°，
∴∠ABE=∠PBF，
又∵∠AEB=∠PFB=90°，
∴△ABE∽△PBF，
∴=，
即=，
解得PF=，
∴PD=DF-PF=3-=，
∴点P的坐标为（1，-）；

③如图3，点P是直角顶点时，过点B作BE⊥对称轴于E，
∵∠1+∠2=180°-90°=90°，
∠1+∠3=180°-90°=90°，
∴∠2=∠3，
又∵∠ADP=∠PEB=90°，
∴△APD∽△PBE，
∴=，
即=，
整理得，PD²-3PD+2=0，
解得PD=1或PD=2，
∴点P的坐标为（1，-1）或（1，-2），
综上所述，在对称轴上存在P₁（1，），P₂（1，-），P₃（1，-1），P₄（1，-2）共4个点，使△PAB是直角三角形．
分析：（1）把点A、B、C、的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可，根据对称轴公式求解即可；
（2）设对称轴与x轴的交点为D，求出AD的长度，然后分①点A是直角顶点时，过点B作BE⊥x轴于E，根据点A、B的坐标求出BE、AE的长，再根据同角的余角相等求出∠APD=∠BAE，然后求出△ABE和△PAD相似，利用相似三角形对应边成比例求出PD的长，从而得解；②点B是直角顶点时，过点B作BE⊥x轴于E，作BF⊥对称轴与F，求出AE、BF的长度，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠PBF，然后求出△ABE和△PBF相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出PF的长，再求出PD的长，即可得到点P的坐标；③点P是直角顶点时，过点B作BE⊥对称轴于E，根据同角的余角相等求出∠2=∠3，然后求出△APD和△PBE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出关于PD的一元二次方程，然后求出PD的长，即可得到点D的坐标．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，综合题，但难度不大，关键在于要根据直角顶点的不同分情况讨论，作出图形更形象直观．