Question

如图，直线y=x+3与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线y=

k

x

（x＞0）交于E点，OF∥BE交双曲线于F，且OF=2BE，求k的值．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：先由直线y=x+3与y轴交于B点，与双曲线y=

k

x

（x＞0）交于E点，得出B（0，3），设E（x，x+3），由OF∥BE，BE解析式为y=x+3，得到OF解析式为y=x，于是可设F（a，a）．再根据E、F都在双曲线y=

k

x

上，得出x（x+3）=a²=k ①，由OF=2BE，得出OF²=4BE²，根据两点间的距离公式得出a²+a²=4[x²+（x+3-3）²]，即a²=4x² ②，再把①代入②，得x（x+3）=4x²，解方程求出x的值，进而得到k的值．

解答：解：∵直线y=x+3与y轴交于B点，与双曲线y=

k

x

（x＞0）交于E点，
∴B（0，3），设E（x，x+3）．
∵OF∥BE，BE解析式为y=x+3，
∴OF解析式为y=x，
∴可设F（a，a）．
∵E、F都在双曲线y=

k

x

上，
∴x（x+3）=a²=k ①，
∵OF=2BE，
∴OF²=4BE²，即a²+a²=4[x²+（x+3-3）²]，
∴a²=4x² ②，
把①代入②，得
x（x+3）=4x²，
解得x₁=1，x₂=0（不合题意舍去），
∴k=x（x+3）=1×（1+3）=4．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，直线平移的规律，两点间的距离公式，综合性较强，难度适中．根据函数图象上点的坐标特征，设出E（x，x+3），F（a，a），得到x（x+3）=a²=k是解题的关键．