Question

【题目】在平面直角坐标系中，A（a,0）,B(0,b),a,b满足=0,C为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO＝PD,DE⊥AB于E.

（1）求∠OAB的度数

（2）当点P运动时，PE的长是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求PE的长

（3）若∠OPD＝45度，求点D的坐标

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）3；（3）（，0）

【解析】分析：（1）根据非负数的性质即可求得a、b的值，从而得到△AOB是等腰直角三角形，据此可求；

（2）根据等腰直角三角形的性质以及三角形的外角的性质可以得到∠POC=∠DPE，即可得证△POC≌△DPE，则OC=PE，OC的长度可根据等腰直角三角形的性质可求；

（3）利用等腰三角形的性质，以及外角的性质，证得∠POC=∠DPE，即可得到△POC≌△DPE，根据全等三角形的对应边相等，即可求得OD的长，从而求得D的坐标.

详解：（1）根据题意得：a=b,a-3=0.解得：a=b＝3，∴OA=OB

又∵∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形,∠OAB=45°。

（2）PE值不变。

理由：∵△AOB是等腰直角三角形,且AC=BC, ∴∠AOC=∠BOC=45°,

又因OC垂直AB于C，故PO=PD,∴∠POD=∠PDO. 又因∠POD=45°+∠POC,

∠POD=45°+∠DPE∴∠POC=∠DPE。

∴在△POC和△DPE中，

∴△POC≌△DPE. ∴OC=PE

又因OC=AB=3, ∴PE=3

（3）∵PO=PD, ∴∠POD=∠PDO==67.5°

∴∠PDA=180°－∠PDO＝180°－67.5°＝112.5°

∵∠POD=∠A+∠APD,

∴∠APD=67.5°－45°＝22.5°, ∴∠BPO=180°－∠OPD－∠APD＝112.5°

∴∠PDA=∠BPO

∴在△POB和△DPA中，

∴△POB≌△DPA（AAS）

PA=OB= 3， ,DA=PB= 6－3

∴ OD=OA－DA=3－（6－3）＝6－6

∴ D（6－6，0）