【题目】已知:在△PAB的边PA、PB上分别取点C、D,连接CD使CD∥AB.将△PCD绕点P按逆时针方向旋转得到△PC′D′(∠APC′<∠APB),连接AC′、BD′.
(1)如图1, 若∠APB=90°,PA=PB,求证:AC′=BD′;AC′⊥BD′.
(2)在图1中,连接AD′、BC′,分别取AB、AD′、C′D′、BC′的中点E、F、G、H,顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH.请判断四边形EFGH的形状,并说明理由.
(3)①如图2, 若改变(1)中∠APB的大小,使0°<∠APB<90°,其他条件不变,重复(2)中操作.请你直接判断四边形EFGH的形状.
②如图3,若改变(1)中PA、PB的大小关系,使PA<PB,其他条件不变,重复(2)中操作,请你直接判断是四边形EFGH的形状.
【答案】
(1)
解:延长AC′交BD′于点M,
∵∠APB=90°,
∴∠PAB+∠PBA=90°.
∵PA=PB,
∴∠PAB=∠PBA.
∵CD∥AB,
∴∠PCD=∠PAB,∠PBA=∠PDC,
∴∠PCD=∠PDC,
∴PC=PD.
∵将△PCD绕点P按逆时针方向旋转得到△PC′D′,
∴∠APB=∠C′PD′,PC′=PC,PD′=PD.
∴∠APB﹣∠C′PB=∠C′PD′﹣∠C′PB,PC′=PD′.
∴∠APC′=∠BPD′.
在△AC′P和△BD′P中,
,
∴△AC′P≌△BD′P(SAS),
∴AC′=BD′,∠PAC′=∠PBD′.
∵∠PAC′+∠BAC′+∠ABP=90°,
∴∠BAC′+∠ABP+∠PBD′=90°,
∴∠MAB+∠ABM=90°,
∴∠AMB=90°,
∴AC′⊥BD′.
∴AC′=BD′;AC′⊥BD′;
(2)
解:四边形EFGH是正方形.
∵点E、F、G、H分别是AB、AD′、C′D′、BC′的中点,
∴EF=GH= BD′,GF=EH=
AC′,EF∥BD′,EH∥AM,
∴∠AEF=∠ABM,∠BEH=∠BAM,
∴∠AEF+∠BEH=90°,
∴∠FEH=90°
∵AC′=BD′,
∴EF=FG=GH=HE,
∴四边形EFGH是正方形
(3)
解:①四边形EFGH是菱形.
∵PA=PB,
∴∠PAB=∠PBA.
∵CD∥AB,
∴∠PCD=∠PAB,∠PBA=∠PDC,
∴∠PCD=∠PDC,
∴PC=PD.
∵将△PCD绕点P按逆时针方向旋转得到△PC′D′,
∴∠APB=∠C′PD′,PC′=PC,PD′=PD.
∴∠APB﹣∠C′PB=∠C′PD′﹣∠C′PB,PC′=PD′.
∴∠APC′=∠BPD′.
在△AC′P和△BD′P中,
,
∴△AC′P≌△BD′P(SAS),
∴AC′=BD′.
∵点E、F、G、H分别是AB、AD′、C′D′、BC′的中点,
∴EF=GH= BD′,GF=EH=
AC′,
∵AC′=BD′,
∴EF=FG=GH=HE,
∴四边形EFGH是菱形;
②四边形EFGH是矩形.
如图3,
延长AC′交BD′于点M,
∵将△PCD绕点P按逆时针方向旋转得到△PC′D′,
∴∠APB=∠C′PD′,PC′=PC,PD′=PD.
∴∠APB﹣∠C′PB=∠C′PD′﹣∠C′PB,.
∴∠APC′=∠BPD′.
∵CD∥AB,
∴ ,
∴ .
∴△AC′P∽△BD′P,
∴∠PAC′=∠PBD′.
∵∠APB=90°,
∴∠PAC′+∠BAC′+∠ABP=90°,
∴∠BAC′+∠ABP+∠PBD′=90°,
∴∠MAB+∠ABM=90°.
∵点E、F、G、H分别是AB、AD′、C′D′、BC′的中点,
∴EF=GH= BD′,GF=EH=
AC′,EF∥BD′,EH∥AM,
∴四边形EFGH是平行四边形.∠AEF=∠ABM,∠BEH=∠BAM,
∴∠AEF+∠BEH=90°,
∴∠FEH=90°,
∴平行四边形EFGH是矩形.
【解析】(1)延长AC′交BD′于点M,由旋转的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出△AC′P≌△BD′P就可以得出AC′=BD′,∠PAC′=∠PBD′,由∠PAC′+∠BAC′+∠ABP=90°,就可以得出∠BAC′+∠ABP+∠PBD′=90°,即∠MAB+∠ABM=90°,就有∠AMB=90°,得出AC′⊥BD′;(2)根据三角形的中位线的性质就可以得出EF=GH= BD′,GF=EH=
AC′,由AC′=BD′就可以得出EF=FG=GH=HE,由平行线的性质就可以得出∠AEF=∠ABM,∠BEH=∠BAM,就可以得出∠FEH=90°,进而得出四边形EFGH是正方形;(3)①由条件可以得出△AC′P≌△BD′P,就可以得出AC′=BD′,根据三角形的中位线的性质就可以得出EF=GH=
BD′,GF=EH=
AC′,由AC′=BD′就可以得出EF=FG=GH=HE,就有四边形EFGH是菱形; ②延长AC′交BD′于点M,由旋转的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出△AC′P∽△BD′P,就有∠PAC′=∠PBD′,就有∠MAB+∠ABM=90°,根据三角形的中位线的性质就可以得出EF=GH=
BD′,GF=EH=
AC′,就可以得出四边形EFGH是矩形.
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【题目】现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板,移动三角板,使三角板的两直角边所在直线分别与直线BC,CD交于点M,N.
(1)如图1,若点O与点A重合,则OM与ON的数量关系是__________________;
(2)如图2,若点O在正方形的中心(即两对角线的交点),则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;
(3)如图3,若点O在正方形的内部(含边界),当OM=ON时,请探究点O在移动过程中可形成什么图形?
(4)如图4是点O在正方形外部的一种情况.当OM=ON时,请你就“点O的位置在各种情况下(含外部)移动所形成的图形”提出一个正确的结论.(不必说理)
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【题目】已知:如图△ABC中,AB为⊙O的直径,BC切⊙O于点B,AC交⊙O与点F,点E在AC上,且∠EBC= ∠BAC,BE交⊙O于点D.
(1)求证:AB=AE;
(2)若AB=10,cos∠EBC= ,求线段BE和BC的长.
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【题目】在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b),a,b满足=0,C为AB的中点,P是线段AB上一动点,D是x轴正半轴上一点,且PO=PD,DE⊥AB于E.
(1)求∠OAB的度数
(2)当点P运动时,PE的长是否变化?若变化,请说明理由;若不变,请求PE的长
(3)若∠OPD=45度,求点D的坐标
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【题目】已知分式A=.
(1) 化简这个分式;
(2) 当a>2时,把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B,问:分式B的值较原来分式A的值是变大了还是变小了?试说明理由.
(3) 若A的值是整数,且a也为整数,求出符合条件的所有a值的和.
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【题目】已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合).以AD为边作正方形ADEF,连接CF.
(1)如图1,当点D在线段BC上时,求证:①BD⊥CF.②CF=BC﹣CD.
(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其它条件不变,请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系;
(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A、F分别在直线BC的两侧,其它条件不变:①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O,连接OC,探究△AOC的形状,并说明理由.
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【题目】如图1和2,四边形ABCD是菱形,点P是对角线AC上一点,以点P为圆心,PB为半径的弧,交BC的延长线于点F,连接PF,PD,PB.
(1)如图1,点P是AC的中点,请写出PF和PD的数量关系:;
(2)如图2,点P不是AC的中点,
①求证:PF=PD.
②若∠ABC=40°,直接写出∠DPF的度数.
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