Question

13．已知m，n，p均为实数，若x-1，x+4均为多项式x³+mx²+nc+p的因式，则2m-2n-p+86=100．

Answer 1

分析 根据三次项系数为1可设另一个因式为（x+k），将原式变形为x³+mx²+nx+p=（x-1）（x+4）（x+k）=x³+（k+3）x²+（3k-4）x-4k，可得$\left\{\begin{array}{l}{m=k+3}\\{n=3k-4}\\{p=-4k}\end{array}\right.$，代入2m-2n-p+86可得答案．

解答 解：∵x-1，x+4均为多项式x³+mx²+nx+p的因式，且三次项系数为1，
∴设另一个因式为（x+k），
则x³+mx²+nx+p=（x-1）（x+4）（x+k）=x³+（k+3）x²+（3k-4）x-4k，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=k+3}\\{n=3k-4}\\{p=-4k}\end{array}\right.$，
∴2m-2n-p+86=2（k+3）-2（3k-4）+4k+86
=2k+6-6k+8+4k+86
=100，
故答案为：100．

点评 本题主要考查因式分解的意义，根据系数设另一个因式，从而变形将待求式子的未知数化为统一未知数是解题的关键．