如图.曲线y1抛物线的一部分.且表达式为:y1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$(x2-2x-3)曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称．(1)求A.B.C三点的坐标和曲线y2的表达式,(2)过点C作CD∥x轴交曲线y1于点D.连接AD.在曲线y2上有一点M.使得四边形ACDM为筝形(如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分.这样的四边形为筝形).请求出点M的横坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

4．

如图，曲线y₁抛物线的一部分，且表达式为：y₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²-2x-3）（x≤3）曲线y₂与曲线y₁关于直线x=3对称．
（1）求A、B、C三点的坐标和曲线y₂的表达式；
（2）过点C作CD∥x轴交曲线y₁于点D，连接AD，在曲线y₂上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；
（3）设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y₂上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）对点A、B、C坐标的意义要明白，点A与点B是二次函数与横轴的交点，点C是纵轴的交点，关于x=3意义的理解，就是将y₁=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x^2}-2x-3）（x≤3）$进行了平移，从而可求得抛物线y₂的解析式；
（2）要理解，只有当CM垂直平分AD时，才能在y₂找到点M，故点M即为直线（C与AD的中点P连线）的交点；
（3）显然MN的值固定，即在y₂上的点，到CM的距离最大的点，即与CM平行的直线与y₂只有一个交点时，即为所求．

解答解：（1）在y₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²-2x-3）中，令y₁=0，则有0=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²-2x-3），解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
又∵C为与y轴的交点，
∴C（0，-$\sqrt{3}$），
又曲线y₂与曲线y₁关于直线x=3对称，
∴曲线y₂可由曲线y₁向右平移4个单位得到，
∴y₂=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x^2}-10x+21）$（x≥3）；
（2）若AD垂直平分CM，则可知CDMA为菱形，此时点M（1，0），显然不在y₂上；
故直线CM垂直平分AD，取AD中点P，易求其坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），
故直线CN的解析式为：y_CN=$\sqrt{3}x-\sqrt{3}$，
求其与y₂的交点坐标：$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x^2}-10x+21）\end{array}$，
解得：x₁=$\frac{{13+\sqrt{73}}}{2}$，x₂=$\frac{{13-\sqrt{73}}}{2}$（不合舍去），
∴x=$\frac{{13+\sqrt{73}}}{2}$；
（3）因为MN的长度固定，故点P到MN的距离最大时，△PMN的面积最大，
∴可设另一直线y=$\sqrt{3}$x+b与y₂相交于点P，很显然它们只有一个交点时，满足条件．
即：$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}x+b\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x^2}-10x+21）\end{array}$只有唯一一个解的时候，这个点就是点P，
即方程$\sqrt{3}$x+b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²-10x+21）有唯一一个解，
解得：x=$\frac{13}{2}$，
将x=$\frac{13}{2}$代入y₂=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x^2}-10x+21）$，解得y=-$\frac{{7\sqrt{3}}}{12}$
故点P的坐标为$（\frac{13}{2}，-\frac{{7\sqrt{3}}}{12}）$．

点评本题主要考查二次函数的综合应用，涉及二次函数与一元二次方程的关系、图象的平移、菱形的性质等知识点．在（1）中确定出曲线y₂可由曲线y₁关向右平移3个单位得到是解题的关键，在（2）中确定出直线CM垂直平分AD是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性质较强，难度较大．

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