Question

19．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，求证：EF=BE+DF．

Answer 1

分析 如图，作辅助线，首先证明△AFE≌△AFG，进而得到EF=FG问题即可解决．

解答 证明：∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠FAG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF

点评 考查正方形的性质、全等三角形的判定及其性质为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．