Question

11．如图，已知△ABP是等腰三角形，AB=BP，以AB为直径的⊙O交AP于点D，交BP于点C，连接BD交AC于点G，直线MN过点A，且∠PAM=$\frac{1}{2}$∠ABP．
（1）试说明直线MN是⊙O的切线．
（2）过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：△DFG是等腰三角形．
（3）连结FO，过点O作OQ⊥FO交BP于点Q，连结FQ，求证：FQ²=AF²+BQ²．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，而BA=BP，根据等腰三角形的性质得∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABP，加上∠PAM=$\frac{1}{2}$∠ABP，所以∠PAM=∠ABD，则利用∠ABD+∠BAD=90°可得∠PAM+∠BAD=90°，于是根据切线的判定定理可得直线MN是⊙O的切线；
（2）先利用等角的余角相等得到∠BDE=∠DAE，再利用三角形外角性质得∠AGD=∠GBA+∠GAB，然后利用等量代换可得∠AGD=∠DAC+∠GAB=∠DAE，于是有∠BDE=∠AGD，根据等腰三角形的判定即可得到△DFG是等腰三角形；
（3）延长QO到点K，使OK=OQ，如图，先证明FO垂直平分QK得到FK=FQ，再证明△OBQ≌△OAK得到BQ=AK，∠OBQ=∠OAK，接着根据圆周角定理得到∠ACB=90°，即∠CAB+∠ABC=90°，易得∠CAB+∠OAK=90°，即∠FAK=90°，然后在Rt△AFK中，根据勾股定理得到FK²=AF²+AK²，再利用等线段代换即可得到结论．

解答 （1）解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AP，
∵BA=BP，
∴BD平分∠ABP，即∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABP，
∵∠PAM=$\frac{1}{2}$∠ABP，
∴∠PAM=∠ABD，
∵∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠PAM+∠BAD=90°，即∠BAM=90°，
∴AB⊥MN，
∴直线MN是⊙O的切线；
（2）证明：∵DE⊥AB，
∴∠BDE+∠DBE=90°，
而∠DBA+∠DAB=90°，
∴∠BDE=∠DAE，
∵∠AGD=∠GBA+∠GAB
而∠GBA=∠DBC=∠DAC，
∴∠AGD=∠DAC+∠GAB=∠DAE，
∴∠BDE=∠AGD，
∴△DFG是等腰三角形；
（3）延长QO到点K，使OK=OQ，如图，
∵OQ⊥OF，OQ=OK，即FO垂直平分QK，
∴FK=FQ，
在△OBQ和△OAK中，
$\left\{\begin{array}{l}{OQ=OK}\\{∠BOQ=∠AOK}\\{OB=OA}\end{array}\right.$，
∴△OBQ≌△OAK，
∴BQ=AK，∠OBQ=∠OAK，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠CAB+∠OAK=90°，即∠FAK=90°，
在Rt△AFK中，FK²=AF²+AK²，
∴FQ²=AF²+BQ²．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的判定定理和等腰三角形的判定与性质；会运用三角形全等证明角或线段相等；记住勾股定理．