Question

6．有一列数a₁，a₂，a₃，…，a_n．其中a₁=-1，a₂=$\frac{1}{1{-a}_{1}}$，a₃=$\frac{1}{1{-a}_{2}}$，…，a_n=$\frac{1}{1{-a}_{n-1}}$，则a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅=1006．

Answer 1

分析 首先根据a₁=-1，可得a₂=$\frac{1}{1{-a}_{1}}$=$\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$，a₃=$\frac{1}{1{-a}_{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$，${a}_{4}=\frac{1}{1-2}=-1$，…，所以这列数是-1、$\frac{1}{2}、2、-1、\frac{1}{2}、2$…，每3个数是一个循环；然后用2015除以3，求出一共有多少个循环，还剩下几个数，进而用循环的个数乘以$-1+\frac{1}{2}+2$，再加上剩下的数，求出a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅的值是多少即可．

解答 解：因为a₁=-1，
所以a₂=$\frac{1}{1{-a}_{1}}$=$\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$，a₃=$\frac{1}{1{-a}_{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$，${a}_{4}=\frac{1}{1-2}=-1$，…，
所以这列数是-1、$\frac{1}{2}、2、-1、\frac{1}{2}、2$…，
因为2015÷3=671…2，
所以a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅
=671×（$-1+\frac{1}{2}+2$）$+（-1+\frac{1}{2}）$
=671×1.5-0.5
=1006.5-0.5
=1006
故答案为：1006．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数是-1、$\frac{1}{2}、2、-1、\frac{1}{2}、2$…，每3个数是一个循环．