Question

（2012•新昌县模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（3，0），B（8，0），与y轴交于点C，且AC平分∠OCB，直线l是它的对称轴．
（1）求直线l和抛物线的解析式；
（2）直线BC与l相交于点D，沿直线l平移直线BC，与直线l，y轴分别交于点E，F，探究四边形CDEF为菱形时点E的坐标；
（3）线段CB上有一动点P，从C点开始以每秒一个单位的速度向B点运动，PM⊥BC，交线段CA于点M，记点P运动时间为t，△CPO与△CPM的面积之差为y，求y与t（0＜t≤6）之间的关系式，并确定在运动过程中y的最大值．  

Answer 1

分析：（1）利用A（3，0），B（8，0）的横坐标，求出直线l表达式，即3与8的平均数即为l的表达式；
（2）在Rt△ABC中，求出tanB=

OC

OB

=

3

4

，BC=

62+82

=10，cosB=

4

5

，然后求出D点坐标，用BC-DB=10-

25

8

=

55

8

表示出CD的长，进而求出E点坐标；
（3）过点P作PL⊥OC，垂足为L，则∠CPL=∠B，由题意得CP=t，则LP=CP，表示出△CPO的面积为：

1

2

OC•LP=

12

5

t，在Rt△AOC中，表示出△CPM的面积为

1

2

CP•PM=

1

4

t2，从而得到y=

12

5

t-

1

4

t2 （0＜t≤6），进而求出最大值．

解答：解：（1）直线l的解析式x=

3+8

2

=

11

2

．
如图，过A作AK⊥BC于点K，
∵AC平分∠OCB，
∴AK=OA=3，CK=OC，AB=5，
∴KB=4．
方法一：设OC=x则CB=x+4，由勾股定理得：x²+8²=（x+4）²，得x=6，
∴C的坐标为（0，6）．
方法二：由△ABK∽△CBO得

AK

OC

=

KB

OB

，得OC=6，
∴C的坐标为（0，6）
设抛物线解析式为：y=a（x-3）（x-8），将点C坐标代入可得a=

1

4

，
∴所求抛物线解析式为：y=

1

4

(x-3)(x-8)，
即y=

1

4

x2-

11

4

x+6．
（2）方法一：
如图，记直线l与x轴交于点N，则NB=2.5，
∵在Rt△OBC中，tanB=

OC

OB

=

3

4

，BC=

62+82

=10，
cosB=

4

5

，则DN=NB•tanB=

5

2

×

3

4

=

15

8

，
DB=

NB

cosB

=

25

8

，
∴D点坐标为（

11

2

，

15

8

）．
CD=BC-DB=10-

25

8

=

55

8

即菱形边长为

55

8

．

15

8

+

55

8

=

35

4

，

15

8

-

55

8

=-5，
∴E点坐标为（

11

2

，

35

4

）或（

11

2

，-5）．
方法二：四边形CDEF为菱形时，有两种情况：
①当BC往下平移时，由菱形性质知，点E₁即为直线CA与对称轴交点．
求得直线AC方程为：y=-2x+6，
与对称轴x=

11

2

的交点为E₁（

11

2

，-5）．
②当BC往上平移时，即D点往上平移菱形的边长个单位得E₂．
求得直线BC：y=-

3

4

x+6，与对称轴x=

11

2

交点D的纵坐标为y_D=

15

8

，
菱形边长为y_D-y_E=

15

8

-（-5）=

55

8

，E₂点纵坐标为：

15

8

+

55

8

=

35

4

．                                         
∴四边形CDEF为菱形时，E₁（

11

2

，-5），E₂（

11

2

，

35

4

）．
（3）过点P作PL⊥OC，垂足为L，则∠CPL=∠B，
而Rt△BOC中，sin∠B=

OC

BC

=

3

5

，cos∠B=

4

5

，
由题意得CP=t，则LP=CPcos∠B=

4t

5

，
△CPO的面积为：

1

2

OC•LP=

12

5

t，
∵CA平分∠OCB，
∴∠MCP=∠OCA，
Rt△AOC中，tan∠OCA=

OA

OC

=

1

2

，
∴PM=

t

2

．
△CPM的面积为：

1

2

CP•PM=

1

4

t2，
∴y=

12

5

t-

1

4

t2 （0＜t≤6），
当t=

24

5

时，y有最大值为

144

25

．

点评：本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、动点问题、函数最值、配方法等知识，是一道综合性很强的题目，有一定难度．