Question

（2012•新昌县模拟）为美化校园，学校决定将花园边墙上的矩形门ABCD改为以AC为直径的圆弧形门，如图所示，量得矩形门宽为1m，对角线AC的长为2m．
（1）求原矩形门的面积；
（2）求要打掉的墙体面积．（结果保留л和根号）

Answer 1

分析：（1）在直角三角形ADC中，由AD与AC的长，利用勾股定理求出DC的长，然后利用矩形的面积=长×宽，即可求出矩形ABCD的面积；
（2）打掉墙体的面积=圆O的面积-矩形ABCD的面积，求出即可．

解答：解：（1）∵在Rt△ADC中，AD=1，AC=2，
根据勾股定理得：DC=

AC2-AD2

=

3

m，
∴S_矩形ABCD=AD•DC=

3

m²；

（2）由直径AC=2m，得到半径OA=OC=OD=1m，
∵sin∠ACD=

AD

AC

=

1

2

，
∴∠ACD=30°，
则∠AOD=60°，
则S_△AOD=

3

4

，S_扇形AOD=

60π

360

=

π

6

，
则S_弓形BC=S_弓形AD=

π

6

-

3

4

则S_打掉墙体=S_圆O-S_矩形ABCD-S_弓形BC=π-

3

-

π

6

+

3

4

=

5π

6

-

3 3

4

．

点评：此题考查了垂径定理的应用，勾股定理，等边三角形的性质，以及扇形的面积公式，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．