Question

18．如图，在锐角三角形ABC中，AB=2，∠ABC=60°，∠ABC的平分线交AC于D，M、N分别是BD、AB上的动点，则AM+MN的最小值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作AE⊥BC于E，交BD于M，作MN⊥AB于N，根据角的平分线的性质求得MN=ME，从而得出AM+MN=AM+ME=AE，根据垂线段最短可知AE就是AM+MN的最小值，然后解直角三角形即可求得．

解答 解：作AE⊥BC于E，交BD于M，作MN⊥AB于N，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴MN=ME，
∵AM+MN=AM+ME=AE，
根据垂线段最短可知AE就是AM+MN的最小值，
∵AB=2，∠ABC=60°，
∴AE=sin∠ABC•AB=sin60°×2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，
∴AM+MN的最小值为$\sqrt{3}$，
故答案为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到垂线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质等知识点的综合运用．