Question

【题目】如图，在矩形中，是上一点，垂直平分，分别交，，于点，，，连接，．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，为的中点，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）先根据线段垂直平分线的性质证明PB=PE,由ASA证明△BOQ≌△EOP ,得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论;
（2）由三角形中位线定理可得AE=2OF，由勾股定理可得AE=8，再由勾股定理可得PB的长．

证明: （1）∵PQ垂直平分BE,
∴PB=PE，OB=OE,
∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC
∴∠PEO=∠QBO,

在△BOQ与△EOP中，

∴△BOQ≌△EOP (ASA)

∴PE=QB,
又∵ AD// BC,
∴四边形BPEQ是平行四边形,
又∵PB=PE,
∴四边形BPEQ是菱形;
（2） ∵点O,F为PQ,AB的中点，OB=OE，OF+OB=9,
∴AE =2OF，BE=2OB，AE+BE=2OF+2OB=18

设AE=x,BE=18-x,
在Rt△ABE中,BE2=AB2+AE2,
∴(18-x) 2=36+x2,
解得x=8

在Rt△ABP中
AB2+ AP2=PB2,
∴62+ (8-PB) 2=PB2,

∴PB=
∴PE=PB=