Question

【题目】如图，抛物线与轴交于 两点，与轴交于点，连接，已知，且抛物线经过点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点是抛物线上位于轴下方的一点，且，求的坐标；

（3）若点是轴上一点，以三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），，，

【解析】

（1）将点B，D的坐标分别代入抛物线的解析式，建立关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值，就可得到抛物线的解析式.（2）由y=0，求出对应的x的值，即可得到点A的坐标，从而可求出AB的长，再由x=0求出对应的y的值，可得到点C的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，过点E作x轴的垂线交lAC于点F，利用函数解析式设点F，E的坐标，利用已知条件建立关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到符合题意的点E的坐标.（3）利用等腰三角形的判定，分情况讨论：当点A为等腰△PAC的顶点时，AC=AP；当点C为等腰△PAC的顶点时，CA=CP；当点P为等腰△PAC的顶点时，CA=CP， 分别求出符合题意的点P的坐标.

（1）将点，点代入 ，

可得，解得 ，

抛物线解析式： ；

（2）当时， ，

解方程，得 ，

，

，

当时， ，

，

，

设，将点代入 ，

得，解得 ，

，

如图1，过点作轴的垂线交于点 ，

设点，点，其中 ，

，

由 ，

可得或 ，

解得：（舍）， ，

；

（3）情形一：当点为等腰的顶点时，，如图2，

，

，

点 ；

情形二：当点为等腰的顶点时，,如图3，

，

；

情形三：当点为等腰的顶点时，，如图4，

过线段的中点作垂线交轴于点，

由中点坐标公式可得 ，

，

，

又 ，

，

，

当时， ，

；

综上所述：，，，.