Question

如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作等边三角形ADE，DE与AC交于点F．
（1）试判断DF与EF的数量关系，并给出理由．
（2）若CF的长为2cm，试求等边三角形ABC的边长．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的每一个角都是60°可得∠BAC=∠DAE=60°，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BD=DC，∠BAD=∠DAC=30°，然后得到∠DAC=∠CAE，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可得证；
（2）求出∠CDF=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．

解答：解：（1）DF=EF．
理由：∵△ABC和△ADE均是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=DC，∠BAD=∠DAC=

1

2

×60°=30°，
∴∠CAE=60°-30°=30°，
即∠DAC=∠CAE，
∴AC垂直平分DE，
∴DF=EF；

（2）在Rt△DFC中，∵∠FCD=60°，∠CFD=90°，
∴∠CDF=90°-60°=30°，
∵CF=2cm，
∴DC=4cm，
∴BC=2DC=2×4=8cm，
即等边三角形ABC的边长为8cm．

点评：本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．