Question

17．如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的半径为6，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，求弦BC的长．

Answer 1

分析 作OM⊥BC于M．由∠BAC与∠BOC互补，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，推出∠BOC=120°，再由BM=OB•sin30°，BC=2BM即可解决问题．

解答 解：如图，作OM⊥BC于M．

∵∠BAC与∠BOC互补，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，OM⊥BC，
∴∠BOM=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°，BM=CM
在Rt△OBM中，BM=OB•sin30°=3$\sqrt{3}$
∴BC=2BM=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查垂径定理、三角形的外接圆与外心、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，灵活应用圆周角与圆心角的关系，属于中考常考题型．