Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD；AB=9，CD=3，AD=BC=5，DE⊥AB于点E，动点M从点A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动；动点N同时从点B出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动、设运动的时间为t秒（）．
（1）DE的长为______；
（2）当MN∥AD时，求t的值；
（3）试探究：t为何值时，△MNB为等腰三角形．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，DE⊥AB于点E，AB∥CD，
∴AE=（AB-CD）=3，
在Rt△AED中，由勾股定理可得：
∴DE===4，

（2）由（1）可得AE=3=CD，连接CE，如右图所示：
∵AE∥DC且AE=DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=CE且AD∥CE
又∵MN∥AD，
∴MN∥CE
∴△BMN∽△BEC，
∴=，
t秒后，BM=AB-2t=9-2t，BN=t，BE=6，BC=5
即：=，t=．
所以，t的值为秒．

（3）在△MNB中，BM=AB-2t=9-2t，BN=t，
①当NM=NB时，MN∥CE，
此时，由（2）知t的值为秒；
②当BM=BN时，9-2t=t，t=3，
此时，t的值为3秒．
③当MN=MB时，过点M作MH⊥BC于H，过点C作CG⊥AB于G，如右图所示：
∵∠B=∠B，∠MHB=∠CGB
∴△BMH∽△BCG
∴=，即：=，t=，
所以，此时t的值为：．
所以，当t=秒，t=3秒，t=秒时，△MNB为等腰三角形．
分析：（1）由等腰梯形可以得出AE的长度为AB减去CD的一半，根据勾股定理可以得出DE的长度．
（2）连接EC，可以得出AD∥CE，即CE∥MN，得出△BMN∽△BEC，根据对应线段的比例关系可以得出答案．
（3）要使△MNB为等腰三角形应分三种情况讨论：①当NM=NB时、②当BM=BN时、③当MN=MB时三种情况下t的值即可．
点评：本题主要考查了等腰梯形的性质，注意分类讨论的运用，用到的知识点有平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定及平行线的性质等．