Question

18．某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
（1）如图1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，则EF=GH；（填“＞”“=”或“＜”）
（2）如图2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：$\frac{EF}{GH}$=$\frac{AD}{AB}$；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=3，CD=5，AD=7.5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求$\frac{DN}{AM}$的值．

Answer 1

分析 （1）EF=GH．如图1中，过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T．先证明四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，推出AP=GH，EF=BQ．再证明△ABP≌△BCQ，推出AP=BQ，即可解决问题．
（2）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得$\frac{DN}{AM}$=$\frac{AR}{AB}$．设SC=x，则AR=BS=3+x，由△ARD∽△DSC，得$\frac{DR}{SC}$=$\frac{AD}{DC}$=$\frac{AR}{DS}$=$\frac{7.5}{5}$=$\frac{3}{2}$，推出DR=$\frac{3}{2}$x，DS=$\frac{2}{3}$（x+3），在Rt△ARD中，根据AD²=AR²+DR²，可得7.5²=（x+3）²+（$\frac{3}{2}$x）²，求出x即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，AD∥BC．AB=BC，∠ABP=∠C=90°
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，
∴AP=GH，EF=BQ．
又∵GH⊥EF，
∴AP⊥BQ，
∴∠PBT+∠ABT=90°，∠ABT+∠BAT=90°，
∴∠CBQ=∠BAT，
在△ABP和△BCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠CBQ}\\{∠ABP=∠C}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∴EF=GH，
故答案为=．

（2）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图2，

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，
∴AP=EF，GH=BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，
∴∠QAT+∠AQT=90°．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，
∴∠DAP+∠DPA=90°，
∴∠AQT=∠DPA．
∴△PDA∽△QAB，
∴$\frac{AP}{BQ}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{EF}{GH}$=$\frac{AD}{AB}$；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，

则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC=90°，∴?ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．
∵AM⊥DN，
∴由（1）中的结论可得$\frac{DN}{AM}$=$\frac{AR}{AB}$，
设SC=x，则AR=BS=3+x，
∵∠ADC=∠R=∠S=90°，
∴∠ADR+∠RAD=90°，∠ADR+∠SDC=90°，
∴∠RAD=∠CDS，
∴△ARD∽△DSC，
∴$\frac{DR}{SC}$=$\frac{AD}{DC}$=$\frac{AR}{DS}$=$\frac{7.5}{5}$=$\frac{3}{2}$，
∴DR=$\frac{3}{2}$x，DS=$\frac{2}{3}$（x+3），
在Rt△ARD中，∵AD²=AR²+DR²，
∴7.5²=（x+3）²+（$\frac{3}{2}$x）²，
整理得13x²+24x-189=0，解得x=3或-$\frac{63}{13}$，
∴AR=6，AB=RS=$\frac{17}{2}$，
∴$\frac{DN}{AM}$=$\frac{AR}{AB}$=$\frac{12}{17}$．

点评 题主要考查了正方形的先证、矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．