Question

1．解方程：12x⁴-56x³+89x²-56x+12=0．

Answer 1

分析 观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x⁴的系数与常数项相同，x³的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由于x≠0，故可将方程的两边同时除以x²，化高次方程为低次方程；根据所得方程的结构特点，运用十字相乘法将方程的左边因式分解即可解决问题．

解答 解：∵12x⁴-56x³+89x²-56x+12=0，且x≠0，
∴方程两边同除以x²得：12x²-56x+89-$\frac{56}{x}$+$\frac{12}{{x}^{2}}$=0，
故12（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-56（x+$\frac{1}{x}$）+89=0，
12（x+$\frac{1}{x}$）²-56（x+$\frac{1}{x}$）+65=0，
[2（x+$\frac{1}{x}$）-5][6（x+$\frac{1}{x}$）-13]=0，
∴x+$\frac{1}{x}$=$\frac{5}{2}$，解得x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$；
x+$\frac{1}{x}$=$\frac{13}{6}$，解得x₃=$\frac{2}{3}$，x₄=$\frac{3}{2}$．
故方程12x⁴-56x³+89x²-56x+12=0的解为x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$，x₃=$\frac{2}{3}$，x₄=$\frac{3}{2}$．

点评 此题考查了特殊高次方程的求解问题；解决该类问题的一般思路是：将低次数，化高次方程为低次方程；灵活运用解决一般方程的思路、方法来求解．