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【题目】(1)已知在△ABC中,∠A=90°,∠B=67.5°,请画一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形(请你选用下面给出的备用图把所有不同的分割方法都画出来.只需画图不必说明理由但要在图中标出相等两角的度数).

(2)已知在△ABC中,∠C是其最小的内角过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形请探求∠ABC与∠C之间的关系.

【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC=135°-∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=90°,∠C是小于45°的任意锐角.

【解析】试题分析:(1)已知角度,要分割成两个等腰三角形,可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理,先计算出可能的角度,或者先从草图中确认可能的情况,及角度,然后画上.
(2)在(1)的基础上,由“特殊”到“一般”,需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程,可得出角与角之间的关系.

试题解析:(1)如图①②(共有2种不同的分割法).

(2)设∠ABC=y,∠C=x,过点B的直线交边AC于点D.

在△DBC中

若∠C是顶角如图则∠CBD=∠CDB=90°-x,∠A=180°-x-y.

故∠ADB=180°-∠CDB=90°+x>90°,此时只能有∠A=∠ABD

即180°-x-y=y-

∴3x+4y=540°,∴∠ABC=135°-∠C.

若∠C是底角

第一种情况:如图当DB=DC时,∠DBC=x.在△ABD中,∠ADB=2x,∠ABD=y-x.

若AB=AD则2x=y-x此时有y=3x

∴∠ABC=3∠C.

若AB=BD则180°-x-y=2x,此时有3x+y=180°,∴∠ABC=180°-3∠C.

若AD=BD则180°-x-y=y-x,此时有y=90°,即∠ABC=90°,∠C为小于45°的任意锐角.

第二种情况:如图

当BD=BC时,∠BDC=x,∠ADB=180°-x>90°,此时只能有AD=BD,∴∠A=∠ABD=∠BDC=∠C<∠C,这与题设∠C是最小角矛盾.

当∠C是底角时,BD=BC不成立.

综上所述,∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC=135°-∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=90°,∠C是小于45°的任意锐角.

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