【题目】(1)已知在△ABC中,∠A=90°,∠B=67.5°,请画一条直线,把这个三角形分割成两个等腰三角形(请你选用下面给出的备用图,把所有不同的分割方法都画出来.只需画图,不必说明理由,但要在图中标出相等两角的度数).
(2)已知在△ABC中,∠C是其最小的内角,过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形,请探求∠ABC与∠C之间的关系.
【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC=135°-∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=90°,∠C是小于45°的任意锐角.
【解析】试题分析:(1)已知角度,要分割成两个等腰三角形,可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理,先计算出可能的角度,或者先从草图中确认可能的情况,及角度,然后画上.
(2)在(1)的基础上,由“特殊”到“一般”,需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程,可得出角与角之间的关系.
试题解析:(1)如图①②(共有2种不同的分割法).
(2)设∠ABC=y,∠C=x,过点B的直线交边AC于点D.
在△DBC中,
①若∠C是顶角,如图,则∠CBD=∠CDB=90°-x,∠A=180°-x-y.
故∠ADB=180°-∠CDB=90°+x>90°,此时只能有∠A=∠ABD,
即180°-x-y=y-,
∴3x+4y=540°,∴∠ABC=135°-∠C.
②若∠C是底角,
第一种情况:如图,当DB=DC时,∠DBC=x.在△ABD中,∠ADB=2x,∠ABD=y-x.
若AB=AD,则2x=y-x,此时有y=3x,
∴∠ABC=3∠C.
若AB=BD,则180°-x-y=2x,此时有3x+y=180°,∴∠ABC=180°-3∠C.
若AD=BD,则180°-x-y=y-x,此时有y=90°,即∠ABC=90°,∠C为小于45°的任意锐角.
第二种情况:如图,
当BD=BC时,∠BDC=x,∠ADB=180°-x>90°,此时只能有AD=BD,∴∠A=∠ABD=∠BDC=∠C<∠C,这与题设∠C是最小角矛盾.
∴当∠C是底角时,BD=BC不成立.
综上所述,∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC=135°-∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=90°,∠C是小于45°的任意锐角.
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【题目】某种水果第一天以2元/斤的价格卖出a斤,第二天以1.5元/斤的价格卖出b斤第三天以1.2元/斤的价格卖出c斤,求:
(1)这三天一共卖出水果多少斤?
(2)这三天一共卖得多少钱?
(3)这三天平均售价是多少?并计算当a=30,b=40,c=45时,平均售价是多少?
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【题目】某中学为了了解同学们平均每月阅读课外书籍的情况,在某年级随机抽查了20名同学,结果如下表所示:
平均每月阅读本数 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
人数 | 2 | 6 | 5 | 4 | 3 |
这些同学平均每月阅读课外书籍本数的中位数和众数为( )
A. 5,5B. 6,6C. 5,6D. 6,5
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【题目】正整数按照如图规律排列,请问
①18这个数排在第 排,第 个位置,100 这个数排在第 排,第 个位置。
②7这个数在第4排第1个,可以记作(4,1),则50这个数可以记作( ),那么一个数可以记作(10,3),则这个数为 。
③请问第n排的最后一个数字是 ,第n排的第二个数字是 (请用含n的式子表示).
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,分别以AB,AC为边作两个等腰三角形ABD和ACE,且AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°.
(1)求∠DBC的度数.
(2)求证:BD=CE.
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【题目】已知∠AOB是一个直角,作射线OC,再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE.
(1)如图①,当∠BOC=70°时,求∠DOE的度数;
(2)如图②,当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时,∠DOE的大小是否发生变化若变化,说明理由;若不变,求∠DOE的度数;
(3)如图③,当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时,画出图形,判断∠DOE的大小是否发生变化若变化,说明理由;若不变,求∠DOE的度数.
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【题目】(本题满分8分)如图在10×10的正方形网格中,△ABC 的顶点在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)计算AC,AB,BC的长度,并判定△ABC 的形状;
(2)若在网格所在的坐标平面内的点A,C的坐标分别为(0,0),(-1,1).请你在图中找出点D,使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形,直接写出满足条件的D点的坐标.
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