Question

（2012•西城区一模）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠B=∠DAC=45°．
（1）如图1，当∠C=45°时，请写出图中一对相等的线段；

AB=AC或AD=BD=CD；

．
（2）如图2，若BD=2，BA=

3

，求AD的长及△ACD的面积．

Answer 1

分析：（1）由∠C=45°，∠B=∠DAC=45°，易得△ABD，△ACD，△ABC是等腰直角三角形，继而求得答案；
（2）首先过点A作AE⊥BC于E，由直角三角形的性质，可求得AD的长，又由△ADC∽△BAC，即可利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得△ACD的面积．

解答：解：（1）∵∠C=45°，∠B=∠DAC=45°，
∴∠BAC=∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠CAD=∠B=∠C=45°，
∴AB=AC或AD=BD=CD；
故答案为：AB=AC或AD=BD=CD；

（2）过点A作AE⊥BC于E，
∵∠B=45°，BA=

3

，
∴AE=BE=

AB

2

=

6

2

，
∵BD=2，
∴DE=2-

6

2

，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+DE2

=

7-2 6

=

( 6 -1)2

=

6

-1；
∵∠B=∠DAC=45°，∠C是公共角，
∴△ADC∽△BAC，
∴

S△ADC

S△ABC

=(

AD

AB

)2，
∵S_△ABD=

1

2

BD•AE=

1

2

×2×

6

2

，
设S_△ADC=x，
则

x

x+ 6 2

=（

6 -1

3

）²，
∴S_△ACD=

9+ 6

4

．
∴AD=

6

-1；S_△ACD=

9+ 6

4

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．