Question

8．已知抛物线y_n=-（x-a_n）²+a_n（n为正整数，且0＜a₁＜a₂＜…＜a_n）与x轴的交点为A_n-1（b_n-1，0）和A_n（b_n，0），当n=1时，第1条抛物线y₁=-（x-a₁）²+a₁与x轴的交点为A₀（0，0）和A₁（b₁，0），其他依此类推．
（1）求a₁，b₁的值及抛物线y₂的解析式；
（2）抛物线y₃的顶点坐标为（9，9）；依此类推第n条抛物线y_n的顶点坐标为（n²，n²）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是y=x．

Answer 1

分析 （1）先把A₀（0，0）代入y₁=-（x-a₁）²+a₁得-a₁²+a₁=0，解得a₁=1或0，加上a₁＞0，则a₁=1，于是得到y₁=-（x-1）²+1，再根据抛物线与x轴的交点问题，通过解方程-（x-1）²+1=0得到第1条抛物线与x轴的交点为A₀（0，0）和A₁（2，0），即b₁=2；接着利用y₂=-（x-a₂）²+a₂与x轴的交点为A₁（2，0）和A₂（b₂，0），则-（2-a₂）²+a₂=0，解得a₂=1或4，利用0＜a₁＜a₂得到a₂=4，即A₂（4，0），即y₂=-（x-4）²+4；
（2）用同样方法得到y₃=-（x-9）²+9，即第3条抛物线的顶点坐标为（9，9），加上第1条抛物线的顶点坐标为（1，1），第2条抛物线的顶点坐标为（4，4），依此规律可得第n条抛物线y_n的顶点坐标为（n²，n²），然后利用所有抛物线的顶点的横纵坐标相等，可判断所有抛物线的顶点在直线y=x上．

解答 解：（1）把A₀（0，0）代入y₁=-（x-a₁）²+a₁得-a₁²+a₁=0，解得a₁=1或0，
而a₁＞0，所以a₁=1，所以y₁=-（x-1）²+1，
当y₁=0，-（x-1）²+1=0，解得x₁=0，x₂=2，
∴第1条抛物线与x轴的交点为A₀（0，0）和A₁（2，0），
∴b₁=2，
∵y₂=-（x-a₂）²+a₂与x轴的交点为A₁（2，0）和A₂（b₂，0），
∴-（2-a₂）²+a₂=0，解得a₂=1或4，
而0＜a₁＜a₂，
∴a₂=4，即A₂（4，0）
∴y₂=-（x-4）²+4；
（2）当y₂=0时，-（x-4）²+4=0，解得x₁=2，x₂=6
∵抛物线y₃=-（x-a₃）²+a₃与x轴的交点为A₂（6，0）和A₃（b₃，0），
∴-（6-a₃）²+a₃=0，解得a₃=4或9，
而a₂＜a₃＜…＜a_n，
∴a₃=9，
∴y₃=-（x-9）²+9，即第3条抛物线的顶点坐标为（9，9），
而第1条抛物线的顶点坐标为（1，1），第2条抛物线的顶点坐标为（4，4），
∴第n条抛物线y_n的顶点坐标为（n²，n²），
∵所有抛物线的顶点的横纵坐标相等，
∴所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系为y=x．
故答案为9，9，n²，n²．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和从特殊到一般解决规律型问题．