Question

18．如图数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．

（1）表中第9行的最后一个数是81，它是自然数9的平方，第9行共有17个数；
（2）表中第（n+1）行的第一个数是n²+1，最后一个数是（n+1）²，第（n+1）行共有2n+1个数；（用含n的代数式表示）
（3）求第（n+1）行各数之和．

Answer 1

分析 （1）第1行最后一个数为1²，第2行最后一个数为2²，第3行最后一个数为3²，第4行最后一个数为4²，…第9行最后一个数为9²，共有9²-8²个数；
（2）由（1）知第n+1行最后一数为（n+1）²，则第一个数为n²+1，该行共有（n+1）²-n²个数；
（3）通过（2）的结果列式从而解得结果．

解答 解：（1）∵第1行最后一个数为1²，第2行最后一个数为2²，第3行最后一个数为3²，第4行最后一个数为4²，…
∴第9行最后一个数为9²=81，它是自然数9的平方，共有9²-8²=17个数，
故答案为：81，9，17；

（2）由（1）知第（n+1）行的第一个数是n²+1，
最后一个数是（n+1）²，
共有（n+1）²-n²=2n+1个数，
故答案为：n²+1，（n+1）²，2n+1；

（3）第（n+1）行各数之和等于${\frac{1}{2}×[n}^{2}+1+（n+1）^{2}]×（2n+1）$=（2n+1）（n²+n+1）=2n³+3n²+3n+1．

点评 本题主要考查了数字的变化规律，发现每行末尾数字是行数的平方是解答此题的关键．