Question

8．如图，已知经过点D（2，-$\sqrt{3}$）的抛物线y=$\frac{m}{3}$（x+1）（x-3）（m为常数，且m＞0）与x轴交于点A、B（点A位于B的左侧），与y轴交于点C．
（1）填空：m的值为$\sqrt{3}$，点A的坐标为（-1，0）；
（2）根据下列描述，用尺规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）：连接AD，在x轴上方作射线AE，使∠BAE=∠BAD，过点D作x轴的垂线交射线AE于点E；
（3）动点M、N分别在射线AB、AE上，求ME+MN的最小值；
（4）l是过点A平行于y轴的直线，P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为点G，请你探究：是否存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点D坐标代入抛物线y=$\frac{m}{3}$（x+1）（x-3），即可得出m的值，再令y=0，即可得出点A，B坐标；
（2）根据尺规作图的要求，画出图形，如图1所示；
（3）过点D作射线AE的垂线，垂足为N，交AB于点M，此时DN的长度即为ME+MN的最小值；
（4）假设存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与△ABD相似，设点P坐标，再表示出点G坐标，计算△ABD的三边，根据勾股定理的逆定理，判断三角形的形状，即可得出结论，若△ABD是直角三角形，即可得出相似，再得出对应边成比例，求得点P坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{m}{3}$（x+1）（x-3）经过点D（2，-$\sqrt{3}$），
∴m=$\sqrt{3}$，
把m=$\sqrt{3}$代入y=$\frac{m}{3}$（x+1）（x-3），得y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3），
即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$；
令y=0，得（x+1）（x-3）=0，
解得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）如图1所示；
（3）过点D作射线AE的垂线，垂足为N，交AB于点M，设DE与x轴交于点H，如图2，
由（1）（2）得点D与点E关于x轴对称，
∴MD=ME，
∵AH=3，DH=$\sqrt{3}$，
∴AD=2$\sqrt{3}$，
∴∠BAD=∠BAE=30°，
∴∠DAN=60°，
∴sin∠DAN=$\frac{DN}{AD}$，
∴sin60°=$\frac{DN}{2\sqrt{3}}$，
∴DN=3，
∵此时DN的长度即为ME+MN的最小值，
∴ME+MN的最小值为3；

（4）假设存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与△ABD相似，如图3，
∵P是抛物线上一点，
∴设点P坐标（x，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$）；
∴点G坐标（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$），
∵A（-1，0），B（3，0），D（2，-$\sqrt{3}$）；
∴AB=4，BD=2，AD=2$\sqrt{3}$，
∴△ABD为直角三角形的形状，
△ABD与以P、G、A为顶点的三角形相似，
分两种情况：
当P点在x轴上方时，
①△ABD∽△PAG，
∴$\frac{BD}{AG}$=$\frac{AD}{PG}$，
∴2（x+1）=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$），
解得x₁=4，x₂=-1（舍去），
∴P（4，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）；
②△ABD∽△APG，
∴$\frac{BD}{PG}$=$\frac{AD}{AG}$，
∴2$\sqrt{3}$（x+1）=2（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$），
解得x₁=6，x₂=-1（舍去），
∴P（6，7$\sqrt{3}$）；
当P点在x轴下方时，
①△ABD∽△PAG，
∴$\frac{BD}{AG}$=$\frac{AD}{PG}$，
∴2（x+1）=-2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$），
解得x₁=2，x₂=-1（舍去），
∴P（2，-$\sqrt{3}$）；
②△ABD∽△APG，
∴$\frac{BD}{PG}$=$\frac{AD}{AG}$，
∴2$\sqrt{3}$（x+1）=-2（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$），
解得x₁=0，x₂=-1（舍去），
∴P（0，-$\sqrt{3}$）；
综上可得，点P坐标为（4，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），（6，7$\sqrt{3}$），（2，-$\sqrt{3}$）或（0，-$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题，还考查了用待定系数法求二次函数解析式、勾股定理和逆定理以及轴对称-最小路径问题等重要知识点，难度较大．