Question

3．已知，抛物线y=ax²+bx+3（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=$\frac{1}{2}$．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；
（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S_△ACP=$\frac{1}{2}$S_△ACD，求点P的坐标；
（4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由对称轴求出B的坐标，由待定系数法求出抛物线解析式，即可得出顶点D的坐标；
（2）由勾股定理和勾股定理的逆定理证出△ACD为直角三角形，∠ACD=90°．得出AD为△ACD外接圆的直径，再证明△AED为直角三角形，∠ADE=90°．得出AD⊥DE，即可得出结论；
（3）求出直线AC的解析式，再求出线段AD的中点N的坐标，过点N作NP∥AC，交抛物线于点P，求出直线NP的解析式，与抛物线联立，即可得出答案；
（4）由相似三角形的性质和直角三角形的性质即可得出答案．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=1，点A（3，0），
∴根据抛物线的对称性知点B的坐标为（-1，0），OA=3，
将A（3，0），B（-1，0）代入抛物线解析式中得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3；
当x=1时，y=4，
∴顶点D（1，4）．
（2）当=0时，
∴点C的坐标为（0，3），
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AC²+CD²=AD²，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°．
∴AD为△ACD外接圆的直径，
∵点E在 轴C点的上方，且CE=$\frac{1}{2}$．
∴E（0，$\frac{7}{2}$）
∴AE=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{7}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{85}}{2}$DE=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴DE²+AD²=AE²，
∴△AED为直角三角形，∠ADE=90°．
∴AD⊥DE，
又∵AD为△ACD外接圆的直径，
∴DE是△ACD外接圆的切线；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，∴直线AC的解析式为y=-x+3，
∵A（3，0），D（1，4），
∴线段AD的中点N的坐标为（2，2），
过点N作NP∥AC，交抛物线于点P，
设直线NP的解析式为y=-x+c，
则-2+c=2，解得：c=4，
∴直线NP的解析式为y=-x+4，
由y=-x+4，y=-x²+2x+3联立得：-x²+2x+3=-x+4，
解得：x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$或x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴y=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，或y=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$
∴P（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$）；
（4）分三种情况：①M恰好为原点，满足△CMB∽△ACD，M（0，0）；
②M在x轴正半轴上，△MCB∽△ACD，此时M（9，0）；
③M在y轴负半轴上，△CBM∽△ACD，此时M（0，-$\frac{1}{3}$）；
综上所述，点M的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，-$\frac{1}{3}$）．

点评 本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、相似三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．