Question

14．（1）问题发现与探究：
如图1，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM⊥AE于点M，连接BE，则：
①线段AE、BD之间的大小关系是AE=BD，∠ADB=90°，并说明理由．
②求证：AD=2CM+BD．
（2）问题拓展与应用：
如图2、图3，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点A作直线，在直线上取点D，∠ADC=45°，连结BD，BD=1，AC=$\sqrt{2}$，则点C到直线的距离是$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，写出计算过程．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC，CE=CD，由∠ACB=∠DCE=90°，得到∠ACE=∠BCD，证得△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质得到AE=BD，∠AEC=∠BDC，根据邻补角的定义得到∠AEC=135°即可得到结论；②根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
（2）如图2，过C作CH⊥AD于H，CE⊥CD交AD于E，于是得到△CDE是等腰直角三角形，由（1）知，AE=BD=1，∠ADB=90°，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{2}$AC=2，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，
∵∠CED=∠CDE=45°，
∴∠AEC=135°，∴∠BDC=135°，
∴∠ADB=90°；
故答案为：AE=BD，90°；
②在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM=DM=ME，∴DE=2CM．
∴AE=DE+AD=2CM+BE；

（2）如图2，过C作CH⊥AD于H，CE⊥CD交AD于E，
则△CDE是等腰直角三角形，由（1）知，AE=BD=1，∠ADB=90°，
∵AB=$\sqrt{2}$AC=2，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴DE=AD-AE=$\sqrt{3}$-1，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CH=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
如图3所示，过C作CH⊥AD于H，CE⊥CD交AD于E，
则△CDE是等腰直角三角形，由（1）知，AE=BD=1，∠ADB=90°，
∵AB=$\sqrt{2}$AC=2，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴DE=AE+AD=1+$\sqrt{3}$，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CH=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴点C到直线的距离是$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．