Question

在平面直角坐标系中，点P（2，-3），点M、N在反比例函数y=

3

x

的图象上，点N在点M的左侧，若以点O、P、M、N组成的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：分当OP∥MN和当MN与OP互相平分两种情况进行讨论，当OP∥MN时即可表示出M的坐标，即可列方程求得，利用方程即可求解，当当MN与OP互相平分时，OP的中点就是MN的中点，根据中点公式求解．

解答：解：当OP∥MN，且OP=MN时如图（1），设N（x，

3

x

），
∵P（2，-3），O（0，0）则M（x+2，

3

x

-3）．
∴

3

x

-3=

3

x

+2，
∴x²+2x-2=0，x=-1+

3

或x=-1-

3

．
∴N（-1+

3

，3

3

+

3

2

）或N（-1-

3

，

6-3 3

2

）
当MN与OP互相平分时，
如图（2）OP的中点（1，-

3

2

）也是MN的中点，
设N（x，

3

x

），由此得，M（2-x，-3-

3

x

），
∴-3-

3

x

=

3

2

-x，
∴x=1+

3

或x=1-

3

．
∴N（1+

3

，

6 3 -1

2

）或N（1-

3

，-

6+3 3

2

）
∴点N的坐标是N₁（-1+

3

，

6 3 +3

2

），N₂（-1-

3

，

6-3 3

2

），N₃（1+

3

，

6 3 -1

2

），N₄（1-

3

，-

6+3 3

2

）．

点评：本题是反比例函数与平行四边形的综合应用，利用了一边平行且相等的四边形是平行四边形，以及对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确进行讨论是关键．