Question

13．如图①，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A，O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E．
（1）求证：PB=PE．
（2）如图②，若正方形ABCD的边长为2，过E作EF⊥AC于点F，在P点运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由．
（3）如图③，用等式表示线段PC，PA，CE之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，构建全等三角形，根据ASA证明△BMP≌△PNE可得结论；
（2）如图2，连接OB，通过证明△OBP≌△FPE，得PF=OB，则PF为定值是$\sqrt{2}$；
（3）根据△AMP和△PCN是等腰直角三角形，得PA=$\sqrt{2}$PM，PC=$\sqrt{2}$NC，整理可得结论．

解答 证明：（1）如图1，过P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，
∵PB⊥PE，
∴∠BPE=90°，
∴∠MPB+∠EPN=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=90°，
∵AD∥MN，
∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°，
∴∠MPB+∠MBP=90°，
∴∠EPN=∠MBP，
Rt△PNC中，∠PCN=45°，
∴△PNC是等腰直角三角形，
∴PN=CN，
∵∠BMP=∠PNC=∠ABC=90°，
∴四边形MBCN是矩形，
∴BM=CN，
∴BM=PN，
∴△BMP≌△PNE（ASA），
∴PB=PE；

（2）在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化，理由是：
如图2，连接OB，
∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，
∴OB⊥AC，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠EFP=90°，
∴∠OBP+∠BPO=90°，
∵∠BPE=90°，
∴∠BPO+∠OPE=90°，
∴∠OBP=∠OPE，
由（1）得：PB=PE，
∴△OBP≌△FPE，
∴PF=OB，
∵AB=2，△ABO是等腰直角三角形，
∴OB=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴PF为定值是$\sqrt{2}$；

（3）如图1，PC=PA+$\sqrt{2}$EC，理由是：
∵∠BAC=45°，
∴△AMP是等腰直角三角形，
∴PA=$\sqrt{2}$PM，
由（1）知：PM=NE，
∴PA=$\sqrt{2}$NE，
∵△PCN是等腰直角三角形，
∴PC=$\sqrt{2}$NC=$\sqrt{2}$（NE+EC）=$\sqrt{2}$NE+$\sqrt{2}$EC=PA+$\sqrt{2}$EC．

点评 本题是一个动态几何题，考查用正方形性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的条件和性质进行有条理的思考和表达能力．利用条件构造三角形全等是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性很强，难度适中．