Question

3．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，点E从点A出发，以每秒$\sqrt{5}$个单位长度的速度沿边AC向终点C运动，E点出发的同时，点F从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BA向终点A运动，连结EF，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，以EF、FG为边作正方形EFGH，设点F运动的时间为t秒（t＞0）
（1）用含t的代数式表示点E到边AB的距离；
（2）当点G落在边AB上时，求t的值；
（3）连结BG，设△BFG的面积为S个平方单位（S＞0），求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出正方形EFGH的顶点H，G分别与点A，C距离相等时的t值．

Answer 1

分析 （1）作垂线段ED，根据三角函数求DE的长，即是点E到边AB的距离；
（2）当点G落在边AB上时，如图2，此时EF⊥AB，根据同角的三角函数列式可求得t的值；
（3）分两种情况：①当0≤t≤1时，如图3，作高线GP，根据△GPF≌△FDE，则GP=DF=4-4t，代入面积公式求S即可；②当1＜t≤2时，如图4，同理作高线求出结论；
（4）当E与C重合，F与A重合时，AH=CG，则t=2．

解答 解：（1）如图1，过E作ED⊥AB于D，
由题意得：AE=$\sqrt{5}t$，
Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{B{C}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
sin∠A=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{DE}{\sqrt{5}t}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴DE=t，
则点E到边AB的距离是t；
（2）当点G落在边AB上时，如图2，此时EF⊥AB，
由（1）得：EF=t，
∵BF=2t，
∴AF=4-2t，
tan∠A=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{t}{4-2t}$=$\frac{1}{2}$，
t=1；
（3）分两种情况：
①当0≤t≤1时，如图3，过E作ED⊥AB于D，过G作GP⊥AB于P，
∵ED=t，AD=2t，BF=2t，
∴FD=4-4t，
易证△GPF≌△FDE，
∴GP=DF=4-4t，
∴S=S_△BFG=$\frac{1}{2}$BF•GP=$\frac{1}{2}×2t$×（4-4t）=-4t²+4t（0≤t≤1）；
②当1＜t≤2时，如图4，过E作EM⊥BC于M，过G作GN⊥BC于N，
易证△EMF≌△FNG，
∴GN=FM，
∴EM=t，AM=2t，
∴BM=4-2t，
∴FM=GN=2t-（4-2t）=4t-4，
∴S=S_△BFG=$\frac{1}{2}$BF•GN=$\frac{1}{2}×2t$×（4t-4）=4t²-4t（1＜t≤2）；
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S=$\left\{\begin{array}{l}{-4{t}^{2}+4t（0≤t≤1）}\\{4{t}^{2}-4t（1＜t≤2）}\end{array}\right.$；

（4）正方形EFGH的顶点H，G分别与点A，C距离相等时，如图5，此时E与C重合，F与A重合，
∴t=2．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及三角形面积的求法等知识点．试题难度不大，需要注意的是（3）问中，在两动点运动过程中，△BFG的面积符合一个函数关系式，本题的关键是用含时间的代数式准确表示BF和AE的长度．