Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC，下列结论：①b＞1且b≠2；②b²-4ac＜4a²；③a＞

1

2

；其中正确的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：由根与系数的关系及二次函数y=ax²+bx+c的图象坐标逐一求判定即可．

解答：解：①∵OB=OC，
∴C（0，c），B（-c，0）
把B（-c，0）代入y=ax²+bx+c得0=ac²-bc+c，即0=ac²+c（1-b），
∵a＞0，
∴1-b＜0，即b＞1，
如果b=2，由0=ac²-bc+c，可得ac=1，此是△=b²-4ac=0，故b＞1且b≠2正确，
②∵a＞0，b＞0，c＞0，设C（0，c），B（-c，0）
∵AB=|x₁-x₂|＜2，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂＜4，
∴（-

b

a

）²-4×

c

a

＜4，即

b2

a2

-

4c

a

＜4，
∴b²-4ac＜4a²；故本项正确．
③把B（-c，0）代入y=ax²+bx+c可得ac+1=b，
代入y=ax²+bx+c得y=ax²+（ac+1）x+c=ax²+acx+x+c=ax²+x+acx+c=x（ax+1）+c（ax+1）=（x+c）（ax+1），
解得x₁=-c，x₂=-

1

a

，
由图可得x₁，x₂＞-2，
即-

1

a

＞-2，
∵a＞0，
∴

1

a

＜2，
∴a＞

1

2

；正确．
所以正确的个数是3个．
故选：D．

点评：本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．解题的关键是根与系数的灵活运用．