Question

【题目】如图，在正方形ABCD内有一点P，PA＝5，PB＝，PC＝，将△BPC绕点B逆时针旋转90°．

（1）画出旋转后的图形；

（2）求点C和点P′的距离．

Answer 1

【答案】（1）如图所示，△ABP'即为所求；见解析；（2）点C和点P′的距离为3．

【解析】

（1）根据旋转的性质将图形进行旋转作图即可解决.

（2）根据旋转的性质和勾股定理求出AP'2+PP'2的值与AP2的值进行比较，然后确定△APP'是直角三角形，然后角角之间的关系求∠CPP'的度数，根据平角的定义得到P'，P，C三点共线，最后求CP′的长度即可.

（1）分别将BP、BC绕点B逆时针旋转90°，依次连接即可，如图所示，△ABP'即为所求；

（2）由旋转可得△BCP≌△BAP'，

∴AP'＝CP＝，BP'＝BP＝，∠ABP'＝∠CBP，

∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP＝90°，

∴∠PBP'＝∠ABP+∠ABP'＝90°，

∴Rt△PBP'中，PP'＝＝2，∠BP'P＝∠BPP'＝45°，

∴AP'2+PP'2＝5+20＝25，

又∵AP2＝25，

∴AP'2+PP'2＝AP2，

∴△APP'是直角三角形，且∠AP'P＝90°，

∴∠AP'B＝135°，

∴∠BPC＝135°，

∴∠CPP'＝135°+45°＝180°，即P'，P，C三点共线，

∴CP'＝PP'+CP＝2＝3，

即点C和点P′的距离为3．