Question

6．先阅读，再回答问题：要比较代数式A、B的大小，可以作差A-B，比较差的取值，当A-B＞0时，有A＞B；当A-B=0时，有A=B；当A-B＜0时，有A＜B．”例如，当a＜0时，比较a²和a（a+1）的大小．可以观察a²-a（a+1）=a²-a²-a=-a．因为当a＜0时，-a＞0，所以当a＜0时，a²＞a（a+1）．
（1）已知M=（x-2）（x-16），N=（x-4）（x-8），比较M、N的大小关系．
（2）某种产品的原料提价，因而厂家决定对于产品进行提价，现有三种方案：
方案1：第一次提价p%，第二次提价q%；
方案2：第一次提价q%，第二次提价p%；
方案3：第一、二次提价均为$\frac{p+q}{2}$%．
如果设原价为a元，请用含a、p、q的式子表示提价后三种方案的价格．
方案1：a（1+p%）（1+q%）；方案2：a（1+p%）（1+q%）；方案3：a（1+$\frac{p+q}{2}$%）²
?如果p，q是不相等的正数，三种方案哪种提价最多？

Answer 1

分析 （1）将M、N展开并做差，即可得出M-N=-6x，根据x的取值范围即可得出M、N之间的大小关系；
（2）根据提价方案求出提价后三种方案的价格，做差后可得出方案3提价最多．

解答 解：（1）∵M=（x-2）（x-16）=x²-18x+32，N=（x-4）（x-8）=x²-12x+32，
∴M-N=（x²-18x+32）-（x²-12x+32）=-6x，
∴当x＞0时，-6x＜0，M＜N；
当x=0时，-6x=0，M=N；
当x＜0时，-6x＞0，M＞N．
（2）方案1：a（1+p%）（1+q%）；
方案2：a（1+p%）（1+q%）；
方案3：a（1+$\frac{p+q}{2}$%）²．
设p%=m，q%=n，则提价后三种方案的价格分别为：
方案1：a（1+m）（1+n）=a（1+m+n+mn）；
方案2：a（1+m）（1+n）=a（1+m+n+mn）；
方案3：a（1+$\frac{m+n}{2}$）²=a（1+m+n+$\frac{{m}^{2}+2mn+{n}^{2}}{4}$）．
a（1+m+n+$\frac{{m}^{2}+2mn+{n}^{2}}{4}$）-a（1+m+n+mn），
=a（1+m+n+$\frac{{m}^{2}+2mn+{n}^{2}}{4}$-1-m-n-mn），
=a（$\frac{{m}^{2}+2mn+{n}^{2}}{4}$-mn），
=$\frac{a}{4}$（m-n）²，
∵p≠q，
∴m≠n，
∴$\frac{a}{4}$（m-n）²＞0，
∴方案3提价最多．
故答案为：a（1+p%）（1+q%）；a（1+p%）（1+q%）；a（1+$\frac{p+q}{2}$%）²．

点评 本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：（1）做差后得出M-N=-6x；（2）做差后得出方案3提价最多．