Question

16．已知抛物线y=$-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{5}{3}x+12$与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，y轴上的点P（0，m），过点P作BC的垂线交对称轴右侧抛物线于点Q，D为x轴上一动点．
（I）求直线BC的解析式；
（2）当m=$\frac{11}{2}$时，若△PQD为直角三角形，求点D的坐标；
（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得△PQD成为以PQ为斜边的直角三角形，请求出所有满足条件的m的值．

Answer 1

分析 （1）求出B、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）分三种情形讨论①∠PDQ=90°．②∠DPQ=90°．③∠DQP=90°．分别求解即可．
（3）如图1中，当以AB为直径⊙F与x轴相切于点D时，满足条件，设⊙F交y于P、G，连接GQ、PD、DQ．作QH⊥x轴于H．由OP∥FD∥QH，PF=FQ，推出OD=DH，设OD=DH=a，由△POD∽△DHQ，可得$\frac{OP}{DH}$=$\frac{OD}{QH}$，即$\frac{m}{a}$=$\frac{a}{QH}$，推出QH=$\frac{{a}^{2}}{m}$，推出Q（2a，$\frac{{a}^{2}}{m}$），由△PQG∽△BCO，得到$\frac{QG}{OC}$=$\frac{PG}{BO}$，可得$\frac{2a}{12}$=$\frac{\frac{{a}^{2}}{m}-m}{9}$，整理得2a²-3am-2m²=0，即（a-2m）（2a+m）=0，可得a=2m或a=-$\frac{m}{2}$，接下来分两种情形求出点Q坐标，利用待定系数法即可解决问题；

解答 解：（1）对于抛物线y=$-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{5}{3}x+12$，令x=0得到y=12，可知C（0，12），
令y=0得到$-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{5}{3}x+12$=0，解得x=9或-4，
∴A（-4，0），B（9，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{b=12}\\{9k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+12．

（2）①当∠PDQ=90°时，
∵P（0，$\frac{11}{2}$），PQ⊥BC，
∴直线PE的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{11}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{11}{2}}\\{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{5}{3}x+12}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{13}{4}}\\{y=\frac{79}{16}}\end{array}\right.$，
∴Q（6，8），PQ的中点F为（3，$\frac{31}{2}$），设D（m，0），
∵PF=DF，
∴3²+10²=（3-m）²+（$\frac{31}{2}$）²，
方程无解，此种情形不存在．
②当∠DPQ=90°时，易知PD∥BC，
∴$\frac{OP}{OC}$=$\frac{OD}{OB}$，
∴$\frac{\frac{11}{2}}{12}$=$\frac{OD}{9}$，
∴OD=$\frac{99}{24}$，
∴点D坐标为（$\frac{99}{24}$，0）．
③当∠PQD=90°，易知直线DQ的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+16，
令y=0得到x=12，
∴D（12，0），
综上所述，满足条件的点D坐标为（$\frac{99}{24}$，0）或（12，0）．

（3）如图1中，当以AB为直径⊙F与x轴相切于点D时，满足条件，设⊙F交y于P、G，连接GQ、PD、DQ．作QH⊥x轴于H．

∵OP∥FD∥QH，PF=FQ，
∴OD=DH，设OD=DH=a，
易知△POD∽△DHQ，
∴$\frac{OP}{DH}$=$\frac{OD}{QH}$，
∴$\frac{m}{a}$=$\frac{a}{QH}$，
∴QH=$\frac{{a}^{2}}{m}$，
∴Q（2a，$\frac{{a}^{2}}{m}$），
由△PQG∽△BCO，得到$\frac{QG}{OC}$=$\frac{PG}{BO}$，
∴$\frac{2a}{12}$=$\frac{\frac{{a}^{2}}{m}-m}{9}$，
整理得2a²-3am-2m²=0，
∴（a-2m）（2a+m）=0，
∴a=2m或a=-$\frac{m}{2}$，
当a=2m时，Q（4m，4m），
把Q（4m，4m）代入y=$-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{5}{3}x+12$得到4m=-$\frac{1}{3}$×16m²+$\frac{5}{3}$×4m+12，解得m=$\frac{1+\sqrt{37}}{4}$或$\frac{1-\sqrt{37}}{4}$（舍弃），
当a=-$\frac{m}{2}$时，Q（-m，$\frac{m}{4}$），
把Q（-m，$\frac{m}{4}$）代入y=$-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{5}{3}x+12$得到$\frac{m}{4}$=-$\frac{1}{3}$×m²-$\frac{5}{3}$m+12，解得m=$\frac{-23-\sqrt{2833}}{8}$或$\frac{-23+\sqrt{2833}}{8}$（舍弃），
综上所述，满足条件的值为$\frac{1+\sqrt{37}}{4}$或$\frac{-23-\sqrt{2833}}{8}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、直线与圆位置关系、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，灵活应用待定系数法，属于中考压轴题．