Question

17．分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则这三个半圆面积之间有什么样的关系，请加以说明．

Answer 1

分析 首先由勾股定理得出AC²+BC²=AB²，由两个小半圆的面积和=$\frac{1}{8}$π（AC²+BC²），大半圆的面积=$\frac{1}{8}π$•AB²，∴$\frac{1}{8}$π（AC²+BC²）=$\frac{1}{8}π$•AB²，即可得出结论．

解答 解：以两条直角边长为直径的两个半圆的面积和=以斜边为直径的半圆的面积；理由如下：
如图所示：
∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∵两个小半圆的面积和=$\frac{1}{2}$π•（$\frac{1}{2}$AC）²+$\frac{1}{2}$π•（$\frac{1}{2}$BC）²=$\frac{1}{8}$π（AC²+BC²），
大半圆的面积=$\frac{1}{2}$π•（$\frac{1}{2}$AB）²=$\frac{1}{8}π$•AB²，
∴$\frac{1}{8}$π（AC²+BC²）=$\frac{1}{8}π$•AB²，
即以两条直角边长为直径的两个半圆的面积和=以斜边为直径的半圆的面积．

点评 本题考查了勾股定理、圆的面积公式；熟练掌握勾股定理，由勾股定理和圆的面积公式得出三个半圆的面积关系是解决问题的关键．