Question

已知：四边形ABCD为圆内接矩形，过点D作圆的切线DP，交BA的延长线于点P，且PD=15，PA=9．
（1）求AD与AB的长；
（2）如果点E为PD的一个动点（不与运动至P，D），过点E作直线EF，交PB于点F，并将四边形PBCD的周长平分，记△PEF的面积为y，PE的长为x，请求出y关于x的函数关系式；
（3）如果点E为折线DCB上一个动点（不与运动至D，B），过点E作直线EF交PB于点F，试猜想直线EF能否将四边形PBCD的周长和面积同时平分？若能，请求出BF的长．若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）连接BD．（如图1）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥PB．
∴∠PAD=∠BAD=90°．△PAD与△ABD都是直角三角形．
∵PD=15，PA=9，
∴AD=12．
∵DP切⊙O于D，
∴BD⊥DP．
∴∠PDB=90°．
∵∠P+∠ADP=∠ADP+∠ADB=90°，
∴∠P=∠ADB．
∵tan∠P===，
∴tan∠ADB==．
∴AB=AD•tan∠ADB==16；

（2）（如图2）
∵过点E作直线EF，交PB于点F，并将四边形PBCD的周长平分，
AB=16，AD=12，
∴四边形PBCD的周长为：15+16+12+16+9=68，
∴PE+PF=34，
∵PE=x，
∴PF=34-x，
EN=PE•sin∠P=x．
设S_△PEF=y，
∴y=EN•PF=×x•（34-x）=-x²+x（0＜x＜15）；

（3）答：不可以．
证明：在折线DCB上任取一点E，连接EO并延长交AB于F．（如图3）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴∠ODE=∠OBF．
∵OD=OB=r，∠DOE=∠FOB，
∴△ODE≌△OBF．
∴S_△ODE=S_△OBF
∴S_梯形ADEF=S_{四边形ADOF}+S_△ODE=S_{四边形ADOF}+S_△OBF=S_△ABD
同理，S_梯形BCEF=S_△BCD
∵S_△BCD=S_△ABD
∴直线EF所割矩形PBCD面积相等．
由△ODE≌△OBF可得DE=BF．
∴DE+AD+AF=BF+AD+AF=AD+AB，
BF+BC+CE=DE+BC+CE=BC+CD．
∵AD=BC，AB=CD，
∴直线EF所割矩形PBCD周长相等．
∵这样的E点无数
而直线F″E″不能平分三角形DPA的周长和面积，
∴不存在BF（如图4）．
分析：（1）由四边形是圆内接矩形可知，∠PAD=90°．根据勾股定理便可求出AD的长．
因为PD是⊙O的切线，所以根据切线的性质和直径所对的圆周角是90°构造直角三角形，应用三角函数即可求出AD与AB的长；
（2）因为PE=x，所以根据EN=PE•sin∠P=x．建立起EN和x之间的关系，利用三角形的面积公式求出y关于x的函数关系式；
（3）过O作直线EF，利用矩形的性质，S_△ODE=S_△OBF，S_△BCD=S_△ABD，可推出直线EF所割矩形PBCD面积相等．
由△ODE≌△OBF可得DE=BF，又因为AD=BC，AB=CD，所以可计算出直线EF所割矩形ABCD周长相等．
点评：此题不仅考查了求圆的弦长等基础知识，还考查了利用面积建立函数关系式、探索与圆相关的四边形的周长和面积的等量关系等内容，有一定的开放性，旨在考查同学们的探索发现能力．