Question

如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作O的切线交BA的延长线于点C．

(1)当∠QPA＝时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；

(2)当QP⊥AB时，△QCP的形状是何种三角形，并说明理由；

(3)由(1)、(2)得出结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是何种三角形？

Answer 1

答案：
解析：

连结OQ．(1)△QCP是等边三角形．证明：因为CQ是O的切线，则CQ⊥OQ．因为PO＝PQ，∠QPC＝，所以∠POQ＝∠PQO＝，所以∠C＝－＝，所以∠CQP＝∠C＝∠QPC＝，所以△QPC是等边三角形． 　　(2)等腰直角三角形．因为PQ⊥AB且PQ＝PO，所以∠POQ＝∠PQO＝．因为CQ⊥OQ，所以∠CQP＝－∠PQO＝，∠QCP＝－∠POQ＝＝∠CQP，所以PQ＝PC，△QPC是等腰直角三角形． 　　(3)等腰三角形．