Question

17．已知如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB上，且BD²=BE•BC；
（1）求证：∠BDE=∠C；
（2）求证：AD²=AE•AB．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，由BD²=BE•BC，得到$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{BD}$，推出△EBD∽△DBC，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）由∠BDE=∠C，推出∠DBC=∠ADE，等量代换得到∠ABD=∠ADE，证得△ADE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵BD²=BE•BC，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{BD}$，
∴△EBD∽△DBC，
∴∠BDE=∠C；

（2）∵∠BDE=∠C，
∠DBC+∠C=∠BDE+∠ADE，
∴∠DBC=∠ADE，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADE，
∴△ADE∽△ABD，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AD}$，
即AD²=AE•AB．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的性质即可得到结论．