Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；

（2）若△ACD的面积为3．

①求抛物线的解析式；

②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．

Answer 1

考点：

二次函数综合题．

分析：

（1）已知抛物线与x轴的两交点的横坐标分别是﹣3和1，设抛物线解析式的交点式y=a（x+3）（x﹣1），再配方为顶点式，可确定顶点坐标；

（2）①设AC与抛物线对称轴的交点为E，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，求出点E的坐标，即可得到DE的长，然后由S_△ACD=×DE×OA列出方程，解方程求出a的值，即可确定抛物线的解析式；

②先运用勾股定理的逆定理判断出在△ACD中∠ACD=90°，利用三角函数求出tan∠DAC=．设y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4向右平移后的抛物线解析式为y=﹣（x+m）²+4，两条抛物线交于点P，直线AP与y轴交于点F．根据正切函数的定义求出OF=1．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）如图2①，F点的坐标为（0，1），（Ⅱ）如图2②，F点的坐标为（0，﹣1）．针对这两种情况，都可以先求出点P的坐标，再得出m的值，进而求出平移后抛物线的解析式．

解答：

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），

∴抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣1）=ax²+2ax﹣3a，

∵y=a（x+3）（x﹣1）=a（x²+2x﹣3）=a（x+1）²﹣4a，

∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4a）；

（2）如图1，①设AC与抛物线对称轴的交点为E．

∵抛物线y=ax²+2ax﹣3a与y轴交于点C，

∴C点坐标为（0，﹣3a）．

设直线AC的解析式为：y=kx+t，

则：，

解得：，

∴直线AC的解析式为：y=﹣ax﹣3a，

∴点E的坐标为：（﹣1，﹣2a），

∴DE=﹣4a﹣（﹣2a）=﹣2a，

∴S_△ACD=S_△CDE+S_△ADE=×DE×OA=×（﹣2a）×3=﹣3a，

∴﹣3a=3，解得a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣x²﹣2x+3；

②∵y=﹣x²﹣2x+3，

∴顶点D的坐标为（﹣1，4），C（0，3），

∵A（﹣3，0），

∴AD²=（﹣1+3）²+（4﹣0）²=20，CD²=（﹣1﹣0）²+（4﹣3）²=2，AC²=（0+3）²+（3﹣0）²=18，

∴AD²=CD²+AC²，

∴∠ACD=90°，

∴tan∠DAC===，

∵∠PAB=∠DAC，

∴tan∠PAB=tan∠DAC=．

如图2，设y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4向右平移后的抛物线解析式为y=﹣（x+m）²+4，两条抛物线交于点P，直线AP与y轴交于点F．

∵tan∠PAB===，

∴OF=1，则F点的坐标为（0，1）或（0，﹣1）．

分两种情况：

（Ⅰ）如图2①，当F点的坐标为（0，1）时，易求直线AF的解析式为y=x+1，

由，解得，（舍去），

∴P点坐标为（，），

将P点坐标（，）代入y=﹣（x+m）²+4，

得=﹣（+m）²+4，

解得m₁=﹣，m₂=1（舍去），

∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣）²+4；

（Ⅱ）如图2②，当F点的坐标为（0，﹣1）时，易求直线AF的解析式为y=﹣x﹣1，

由，解得，（舍去），

∴P点坐标为（，﹣），

将P点坐标（，﹣）代入y=﹣（x+m）²+4，

得﹣=﹣（+m）²+4，

解得m₁=﹣，m₂=1（舍去），

∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣）²+4；

综上可知，平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣）²+4或y=﹣（x﹣）²+4．

点评：

此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，三角函数的定义，三角形的面积、两函数交点坐标的求法，函数平移的规律等知识，综合性较强，有一定难度，解题的关键是方程思想、数形结合思想与分类讨论思想的应用．