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在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,⊙A的半径为1,如图所示.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=x,△AOC的面积为y.
(1)求⊙A与△ABC重叠部分图形的面积(结果用π的式子表示);
(2)求y关于x的函数解析式,并写出函数自变量x的取值范围;
(3)以点O为圆心,BO长为半径作圆,求当⊙O与⊙A外切时,△AOC的面积.

【答案】分析:(1)由∠BAC=90°,⊙A的半径为1,由扇形的面积公式即可求得⊙A与△ABC重叠部分图形的面积;
(2)由∠BAC=90°,AB=AC=2,根据勾股定理即可求得BC,且∠B=∠C,然后作AM⊥BC,由S△AOC=OC•AM,即可求得y关于x的函数解析式;
(3)由⊙O与⊙A外切,可得O与A的连接线段必过切点,⊙O半径为BO,⊙A的半径为1,可得OA=1+ON,又OB=ON,则OM=(2-ON),根据勾股定理AM2+OM2=OA2,即可求得ON的值,继而求得△AOC的面积.
解答:解:(1)∵∠BAC=90°,⊙A的半径为1,
∴⊙A与△ABC重叠部分图形的面积为:=π;

(2)∵∠BAC=90°,AB=AC=2
由勾股定理知BC==4,且∠B=∠C,
作AM⊥BC,
则∠BAM=45°,BM=CM=2=AM,
∵BO=x,则OC=4-x,
∴S△AOC=OC•AM=×(4-x)×2=4-x,
即y=4-x (0<x<4);

(3)∵⊙O与⊙A外切,
∴O与A的连接线段必过切点,
设切点为N.
∵⊙O半径为BO,⊙A的半径为1,
则OA=1+ON,又OB=ON,则OM=(2-ON),
又∵AM=2,AM⊥BC,
有AM2+OM2=OA2
即4+(2-ON)2=(1+NO)2
∴4+4+ON2-4ON=ON2+2ON+1,
∴6NO=7,
则NO==x,
则S△AOC=4-x=4-=
点评:此题考查了相切两圆的性质,三角形面积的求解方法,以及勾股定理的应用等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动精英家教网;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,设运动时间为x.
(1)当x为何值时,PQ∥BC;
(2)当
S△BCQ
S△ABC
=
1
3
,求
S△BPQ
S△ABC
的值;
(3)△APQ能否与△CQB相似?若能,求出AP的长;若不能,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•北京)在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.
(1)若α=60°且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠CDB的度数;

(2)在图2中,点P不与点B,M重合,线段CQ的延长线于射线BM交于点D,猜想∠CDB的大小(用含α的代数式表示),并加以证明;
(3)对于适当大小的α,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QD,请直接写出α的范围.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从点A出发,沿AB以4cm/s的速度向点B运动,同时点Q从C点出发,沿CA以3cm/s的速度向点A运动,设运动时间为x秒.
(1)当x为何值时,BP=CQ;
(2)△APQ能否与△CQB相似?若能,求出x的值;若不能,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•宿迁)(1)如图1,在△ABC中,BA=BC,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=
1
2
∠ABC(0°<∠CBE<∠
1
2
ABC).以点B为旋转中心,将△BEC按逆时针旋转∠ABC,得到△BE′A(点C与点A重合,点E到点E′处)连接DE′,
求证:DE′=DE.
(2)如图2,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=
1
2
∠ABC(0°<∠CBE<45°).
求证:DE2=AD2+EC2

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从点A出发,沿AB以每秒4cm,的速度向点B运动,同时点Q从C点出发,沿CA以3cm/s的速度向点A运动,设运动时间为x秒.
(1)当x为何值时,BP=CQ
(2)当x为何值时,PQ∥BC
(3)△APQ能否与△CQB相似?若能,求出x的值;若不能,请说明理由.

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