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【题目】我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.

(1如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形;

(2如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;

(3若改变(2中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明

【答案】(1证明见解析;(2四边形EFGH是菱形;(3四边形EFGH是正方形.

【解析】

试题分析:(1如图1中,连接BD,根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG,EH=FG即可.

(2四边形EFGH是菱形.先证明△APC≌△BPD,得到AC=BD,再证明EF=FG即可.

(3四边形EFGH是正方形,只要证明∠EHG=90°,利用△APC≌△BPD,得∠ACP=∠BDP,即可证明∠COD=∠CPD=90°,再根据平行线的性质即可证明.

试题解析:(1证明:如图1中,连接BD.

∵点E,H分别为边AB,DA的中点,∴EH∥BD,EH=BD,∵点F,G分别为边BC,CD的中点,∴FG∥BD,FG=BD,∴EH∥FG,EH=GF,∴中点四边形EFGH是平行四边形.

(2四边形EFGH是菱形.

证明:如图2中,连接AC,BD.

∵∠APB=∠CPD,∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD即∠APC=∠BPD,在△APC和△BPD中,AP=PB,APC=BPD,PC=PD,∴△APC≌△BPD,∴AC=BD∵点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点,∴EF=AC,FG=BD,∵四边形EFGH是平行四边形,∴四边形EFGH是菱形.

(3四边形EFGH是正方形.

证明:如图2中,设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M,AC与EH交于点N.

∵△APC≌△BPD,∴∠ACP=∠BDP,∵∠DMO=∠CMP,∴∠COD=∠CPD=90°,∵EH∥BD,AC∥HG,∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°,∵四边形EFGH是菱形,∴四边形EFGH是正方形.

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【题目】某商场销售A,B两种品牌的教学设备,这两种教学设备的进价和售价如下表所示:

A

B

进价(万元/套)

1.5

1.2

售价(万元/套)

1.65

1.4

该商场计划购进两种教学设备若干套,共需66万元,全部销售后可获毛利润9万元。

(毛利润=(售价 - 进价)×销售量)

(1)该商场计划购进A,B两种品牌的教学设备各多少套?

(2)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少A种设备的购进数量,增加B种设备的购进数量,已知B种设备增加的数量是A种设备减少数量的1.5倍。若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元,问A种设备购进数量至多减少多少套?

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【题目】如图,在平面直角坐标系内,点 O 为坐标原点,点 A x 轴负半轴上,点 BC 分别在 x 轴、y 轴正半轴上,且 OB=2OAOBOC=OCOA=2

1)求点 C 的坐标;

2)点 P 从点 A 出发以每秒 1 个单位的速度沿 AB 向点 B 匀速运动,同时点 Q 从点 B 出发 以每秒 3 个单位的速度沿 BA 向终点 A 匀速运动,当点 Q 到达终点 A 时,点 PQ 均停止运 动,设点 P 运动的时间为 t 秒(t0),线段 PQ 的长度为 y,用含 t 的式子表示 y,并写出 相应的 t 的范围;

3)在(2)的条件下,过点 P x 轴的垂线 PMPM=PQ,是否存在 t 值使点 O PQ 中 点?若存在求 t 值并求出此时三角形 CMQ 的面积;若不存在,请说明理由.

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(1)利用格点在图中画出ABDAD边上的高,垂足为H.

(2)①画出将ABD先向右平移2格,再向上平移2格得到的A1B1D1

②平移后,求线段AB扫过的部分所组成的封闭图形的面积.

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(2)如图,若∠1=65°,求∠B的大小.

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(1)求证:ADE≌△FCE.

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(1)如图1,已知AG、BG分别是∠BAO和∠ABO角的平分线,求的度数;

(2)如图2,已知AB不平行CD,AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线,又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线,∠CED= 度;

(3)如图3,,过点B作直线CDMN,G为射线BD上一点,OF平分∠QOG,OEOF,探索的大小是否发生变化?若不变,求其值;若改变,说明理由.

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【题目】如图,DE∥BF∠1与∠2互补.

1)试说明:FG∥AB;

2)若∠CFG=60°∠2=150°,则DEAC垂直吗?请说明理由.

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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(3,3),B(5,3).

(1)在y轴的负方向上有一点C(如图),使得四边形AOCB的面积为18,求C点的坐标;

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①直接写出B1的坐标:B1   

②求平移过程中线段OB扫过的面积.

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