【题目】我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
(1)如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形;
(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;
(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)
【答案】(1)证明见解析;(2)四边形EFGH是菱形;(3)四边形EFGH是正方形.
【解析】
试题分析:(1)如图1中,连接BD,根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG,EH=FG即可.
(2)四边形EFGH是菱形.先证明△APC≌△BPD,得到AC=BD,再证明EF=FG即可.
(3)四边形EFGH是正方形,只要证明∠EHG=90°,利用△APC≌△BPD,得∠ACP=∠BDP,即可证明∠COD=∠CPD=90°,再根据平行线的性质即可证明.
试题解析:(1)证明:如图1中,连接BD.
∵点E,H分别为边AB,DA的中点,∴EH∥BD,EH=BD,∵点F,G分别为边BC,CD的中点,∴FG∥BD,FG=BD,∴EH∥FG,EH=GF,∴中点四边形EFGH是平行四边形.
(2)四边形EFGH是菱形.
证明:如图2中,连接AC,BD.
∵∠APB=∠CPD,∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD,即∠APC=∠BPD,在△APC和△BPD中,∵AP=PB,∠APC=∠BPD,PC=PD,∴△APC≌△BPD,∴AC=BD.∵点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点,∴EF=AC,FG=BD,∵四边形EFGH是平行四边形,∴四边形EFGH是菱形.
(3)四边形EFGH是正方形.
证明:如图2中,设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M,AC与EH交于点N.
∵△APC≌△BPD,∴∠ACP=∠BDP,∵∠DMO=∠CMP,∴∠COD=∠CPD=90°,∵EH∥BD,AC∥HG,∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°,∵四边形EFGH是菱形,∴四边形EFGH是正方形.
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【题目】某商场销售A,B两种品牌的教学设备,这两种教学设备的进价和售价如下表所示:
A | B | |
进价(万元/套) | 1.5 | 1.2 |
售价(万元/套) | 1.65 | 1.4 |
该商场计划购进两种教学设备若干套,共需66万元,全部销售后可获毛利润9万元。
(毛利润=(售价 - 进价)×销售量)
(1)该商场计划购进A,B两种品牌的教学设备各多少套?
(2)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少A种设备的购进数量,增加B种设备的购进数量,已知B种设备增加的数量是A种设备减少数量的1.5倍。若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元,问A种设备购进数量至多减少多少套?
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【题目】如图,在平面直角坐标系内,点 O 为坐标原点,点 A 在 x 轴负半轴上,点 B、C 分别在 x 轴、y 轴正半轴上,且 OB=2OA,OB﹣OC=OC﹣OA=2.
(1)求点 C 的坐标;
(2)点 P 从点 A 出发以每秒 1 个单位的速度沿 AB 向点 B 匀速运动,同时点 Q 从点 B 出发 以每秒 3 个单位的速度沿 BA 向终点 A 匀速运动,当点 Q 到达终点 A 时,点 P、Q 均停止运 动,设点 P 运动的时间为 t 秒(t>0),线段 PQ 的长度为 y,用含 t 的式子表示 y,并写出 相应的 t 的范围;
(3)在(2)的条件下,过点 P 作 x 轴的垂线 PM,PM=PQ,是否存在 t 值使点 O 为 PQ 中 点?若存在求 t 值并求出此时三角形 CMQ 的面积;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点(小正方形的顶点叫格点)上,连接BD.
(1)利用格点在图中画出△ABD中AD边上的高,垂足为H.
(2)①画出将△ABD先向右平移2格,再向上平移2格得到的△A1B1D1;
②平移后,求线段AB扫过的部分所组成的封闭图形的面积.
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【题目】已知平行四边形ABCD中,CE平分∠BCD且交AD于点E,A F∥CE,且交BC于点F.
(1)求证:△ABF≌△CDE;
(2)如图,若∠1=65°,求∠B的大小.
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【题目】如图,E是ABCD的边CD的中点,延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证:△ADE≌△FCE.
(2)若∠BAF=90°,BC=5,EF=3,求CD的长.
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【题目】直线MN与直线PQ相交于O,点A在射线OP上,点B在射线OM上.
(1)如图1,已知AG、BG分别是∠BAO和∠ABO角的平分线,求的度数;
(2)如图2,已知AB不平行CD,AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线,又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线,∠CED= 度;
(3)如图3,,过点B作直线CD⊥MN,G为射线BD上一点,OF平分∠QOG,OE⊥OF,探索的大小是否发生变化?若不变,求其值;若改变,说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(3,3),B(5,3).
(1)在y轴的负方向上有一点C(如图),使得四边形AOCB的面积为18,求C点的坐标;
(2)将△ABO先向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得△A1B1O1
①直接写出B1的坐标:B1( )
②求平移过程中线段OB扫过的面积.
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