Question

9．定义一种变换：平移抛物线F₁得到抛物线F₂，使F₂经过F₁的顶点A．设F₂的对称轴分别交F₁、F₂于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．

（1）如图①，若F₁：y=x²经过变换得到F₂：y=x²+bx，点C坐标为（2，0），求抛物线F₂的解析式；
（2）如图②，若F₁：y=ax²+c经过变换后点B的坐标为（2，c-1），求△ABD的面积；
（3）如图③，若F₁：y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{7}{3}$经过变换后满足AC=2$\sqrt{3}$．
①请说明四边形ABCD是菱形；
②若点P是直线AC上的动点，直接写出点P到点D的距离与到直线AD的距离之和的最小值．

Answer 1

分析 （1）已知F₂的解析式，把已知坐标代入即可得出b的值，即可解答；
（2）由y=ax²+c经过变换后点B的坐标为（2，c-1），根据A（0，c）在F₂上，可得a=$\frac{1}{4}$，即可表示出△ABD的面积；
（3）①求出y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{7}{3}$的顶点坐标与对称轴，从而表示出F2的解析式，判断出四边形ABCD是菱形，
②要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，进而求出．

解答 解：（1）将点C（2，0）的坐标代入抛物线F₂的解析式，
得b=-2，
∴F₂的解析式为y=x²-2x．
（2）∵F₂：y=a（x-2）²+c-1，
而A（0，c）在F₂上，可得a=$\frac{1}{4}$，
∴DB=（4a+c）-（c-1）=2，
∴S_△ABD=2．
（3）①抛物线y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{7}{3}$，配方得y=$\frac{1}{3}（x-1）^{2}$+2，
顶点坐标是A（1，2），
∵AC=2$\sqrt{3}$，
∴点C的坐标为（1+2$\sqrt{3}$，2）．
∵F₂过点A，
∴F₂的解析式为y=$\frac{1}{3}（x-1-\sqrt{3}）^{2}$+1，
设AC与BD交于点N，
∴B（1+$\sqrt{3}$，1），
∴D（1+$\sqrt{3}$，3），
∴NB=ND=1，
∵点A与点C关于直线BD对称，
∴AC⊥DB，且AN=NC，
∴四边形ABCD是菱形．
②∵四边形ABCD是菱形．
∴AC是线段BD的垂直平分线，
∵点P在直线AC上，
∴PD=PB．
如图③，作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH．

要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是点B到AD的距离，即△ABD边AD上的高h．
∵DN=1，AN=$\sqrt{3}$，DB⊥AC，
∴∠DAN=30°，故△ABD是等边三角形．
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD=$\sqrt{3}$．
∴点P到点D的距离与到直线AD的距离之和的最小值为$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了二次函数的图形变换与顶点坐标的求法，以及等边三角形的性质等知识，此题是近几年中考中新题型，也是数形结合的典型代表题目．