如图所示.△ABC是等边三角形.动点D从点B出发.以每秒$\frac{BC}{30}$个单位向点C运动.在AB上取点E.使得DE=AE+CD.在AC上取点F使得DF平分∠EDC.设运动时间为t．(1)连接EF.是否存在某一时刻.使得△DEF存在一边为另一边长度的2倍?若存在.试求t的值.若不存在.试说明理由,(2)是否存在某一时刻.使得DE=BD+CF?若存在.试求t的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．

如图所示，△ABC是等边三角形，动点D从点B出发，以每秒$\frac{BC}{30}$个单位向点C运动，在AB上取点E，使得DE=AE+CD，在AC上取点F使得DF平分∠EDC，设运动时间为t．
（1）连接EF，是否存在某一时刻，使得△DEF存在一边为另一边长度的2倍？若存在，试求t的值，若不存在，试说明理由；
（2）是否存在某一时刻，使得DE=BD+CF？若存在，试求t的值，若不存在，试说明理由．

分析（1）作辅助线，构建全等三角形和直角三角形，证明△HDF≌△CDF和△EMH≌△ENP，得∠EFD=90°，当△DEF存在一边为另一边长度的2倍时，分两种情况：
①当ED=2DF时，∠DEF=30°，证明△BED∽△CDF，得$\frac{ED}{DF}=\frac{BD}{CF}=2$，则BD=2CF，得出BD与BC的关系，计算时间t=20；
②当DE=2EF时，∠EDF=30°，则∠EDC=60°，t=0
（2）如图2，过E作EM∥BC，交AC于M，延长EF和BC交于N，根据各条线段的关系得出：2CD=3CF，设CD=3k，CF=2k（k＞0），证明△DFH∽△FNH，分别表示出BD、CB的长，求出时间t．

解答解：（1）如图1，取DE上一点H，使AE=EH，则DH=DC，
∵∠EDF=∠CDF，DF=DF，
∴△HDF≌△CDF，
∴∠DHF=∠C=60°，
过E作EN⊥AC于N，EM⊥FH于M，过E作EP∥BC，交AC于P，
∵∠EHF=∠EPF=180°-60°=120°，
∴∠EHM=∠EPN=60°，
∵EH=EP，∠EMH=∠ENP=90°，
∴△EMH≌△ENP，
∴EM=EN，
∵EF=EF，
∴△EMF≌△ENF，
∴MF=NF，∠MFE=∠EFN，
∵MH=NP，
∴HF=PF，
∵∠HFD=∠DFC，
∴∠EFM+∠DFM=90°，
即∠EFD=90°，
①当ED=2DF时，∠DEF=30°，
∵∠DHF=60°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=120°，
∵∠BED+∠BDE=120°，
∴∠BED=∠FDC，
∴△BED∽△CDF，
∴$\frac{ED}{DF}=\frac{BD}{CF}=2$，
∴BD=2CF，
∵∠DEF=30°，∠DHF=60°，
∴∠HFE=30°，
∴EH=FH=EP=PF，
∵EP=AP，
∴AP=PF=HF=FC，
∴CF=$\frac{1}{3}$AC，
∴BD=2CF=2×$\frac{1}{3}AC$=$\frac{2}{3}BC$，
∴t=$\frac{BD}{\frac{BC}{30}}$=$\frac{2}{3}BC$$•\frac{30}{BC}$=20，
②当DE=2EF时，∠EDF=30°，
则∠EDC=60°，
此时D与C重合，
∴t=0
综上所述，当t=0或2时，使得△DEF存在一边为另一边长度的2倍；
（2）存在某一时刻，使得DE=BD+CF，
如图2，过E作EM∥BC，交AC于M，延长EF和BC交于N，
由（1）得：△MEF≌△CNF，
∴EM=CN，MF=FC，
∵△AEM是等边三角形，
∴AE=AM=EM，
∵DE=AE+CD，AE=AM，
∴AC=AM+MF+FC=BC=BD+CD，
即2CF+AE=BD+CD①，
当DE=BD+CF时，
∵DE=AE+CD，
∴AE+CD=BD+CF②，
由①②得：2CD=3CF，
∴$\frac{CD}{CF}=\frac{3}{2}$，
设CD=3k，CF=2k（k＞0），
作FH⊥CD于H，
∵∠ACB=60°，
∴∠HFC=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$CF=k，FH=$\sqrt{3}$k，DH=CD-CH=2k，
由（1）得∠DFN=90°，FH⊥CD，
∴△DFH∽△FNH，
∴$\frac{FH}{DH}=\frac{HN}{FH}$，
∴FH²=DH•HN，
即$（\sqrt{3}k）^{2}=2k（k+CN）$，
CN=$\frac{1}{2}$k，
∴CN=EM=AM=$\frac{1}{2}$k，
∴CB=AC=$\frac{1}{2}k$+2k+2k=$\frac{9}{2}k$，
∴BD=CB-DC=$\frac{9}{2}$k-2k=$\frac{3}{2}$k，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{\frac{3}{2}k}{\frac{9}{2}k}$=$\frac{1}{3}$，
则此时运动的时间t=$\frac{BD}{\frac{BC}{30}}$=$\frac{30BD}{BC}$=10，
所以当t=10秒时，DE=BD+CF．

点评本题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，熟练掌握等边三角形的性质，并构建恰当的辅助线，难度较大；利用线段和的大小关系及线段的相等关系得出三角形全等，从而由性质得出边和角的关系，同时采用了分类讨论的思想，数形结合，得出结论．

练习册系列答案

品至教育假期复习计划期末寒假衔接系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>