Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象经过点A（－1，0）、点B（3，0）、点C（0，3）．

（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）连结AC、CD、BD，试比较∠BCA与∠BDC的大小，并说明理由；

（3）若在x轴上有一动点M，在抛物线上有一动点N，则M、N、B、C四点是否能构成平行四边形，若存在，请求出所有适合的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1），D的坐标为（1，4）．（2）∠BCA∠B DC，理由见解析，（3）（1，0）、（5，0）、（，0）、（，0）．

【解析】

试题分析：（1）分别把点A（－1，0）、点B（3，0）、点C（0，3）代入，求出a、b、c的值即可，再进行配方求出点D的坐标.

（2）分别求出CD，BD，CB，AC的长度，即可得出△CDB∽△OAC，故∠BCA=∠BDC

（3）设点M的坐标为（t，0）则N的坐标分别是（3－t，3），（t－3，3），（t＋3，－3）代入解析式t的值.

试题解析：（1）∵点A、B、C在抛物线上，

∴ 解得

∴此抛物线为：

由

∴抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．

（2）连结BC，

由点C（0，3）、B（3，0）、D（1，4）

可得CD=，BD=，CB=

由点C（0，3）、A（－1，0），可得AC=

由

∴ △CDB∽△OAC

∴∠BCA=∠BDC

（3）设点M的坐标为（t，0）

则由C（0，3）、B（3，0）、M（t，0）可以得到

若能构成平行四边形时点N的坐标有三种可能，

分别是（3－t，3），（t－3，3），（t＋3，－3）

∵点N在抛物线上

当把（3－t，3）代入时，

可得t=1或t=3（点M与点B重合，舍去）；

当把（t－3，3）代入时，

可得t=5或t=3（点M与点B重合，舍去）；

当把（t＋3，－3）代入时，

可得t=或t=，

综上可知，M的坐标为（1，0）、（5，0）、（，0）、（，0）．

考点：二次函数综合题

考点分析： 考点1：二次函数 定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。 二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。 试题属性

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