Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A．B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求A，B，C，D的坐标；
（2）判断以点A，C，D为顶点的三角形的形状，并说明理由；
（3）点M（ m，0）（﹣3＜m＜﹣1）为线段AB上一点，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，得矩形PQNM，当矩形PQMN的周长最大时，m的值是多少？并直接写出此时△AEM的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由抛物线y+﹣x2﹣2x+3可得，当x=0时，y=0，即C（0，3）．

当y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得，x=﹣3或x=l，令x=0，得y=3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），

把y=﹣x2﹣2x+3化为顶点式为y=﹣（x+1）2+4，

∴D（﹣1，4）

（2）

解：结论：△ACD是直角三角形，理由如下，

连接CD、AD，设抛物线的对称轴交AC于点H，过点C作CF⊥DH于点F，则F（﹣1，3）．

由A（﹣3，0），C（0，3）得直线AC的解析式为y=x+3，

把x=﹣1代入y=x+3得，y=2，即H（﹣1，2），

∴DF=4﹣3=1，FH=3﹣2=1，

∴DF=FH=CF=1，

∴∠HCD=90°，

∴△ACD是直角三角形

（3）

解：由D（﹣1，4）可知，对称轴为x=﹣1，

∵M（m，0），∴PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）

=（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2

=﹣2m2﹣8m+2，

∵﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，

∴m=﹣2时，矩形的周长最大，

∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y=kx+b，

则 解得： ，

∴解析式y=x+3，当x=﹣2时，则E（﹣2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S= AMEM= ．

【解析】（1）通过解析式即可得出C点坐标，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标．（2）结论：△ACD是直角三角形．连接CD、AD，设抛物线的对称轴交AC于点H，过点C作CF⊥DH于点F，只要证明DF=FH=CF即可解决问题．（3）设M点横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周长d=﹣2m2﹣8m+2，将﹣2m2﹣8m+2配方，根据二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．