Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣ x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=﹣ x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），

∴﹣ ×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得b= ，

∴抛物线解析式为 y=﹣ x2+ x+4，

又∵y=﹣ x2+ x+4=﹣ （x﹣3）2+ ，

∴对称轴方程为x=3

（2）

解：在y=﹣ x2+ x+4中，令x=0，得y=4，

∴C（0，4），

令y=0，即﹣ x2+ x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得x=8或x=﹣2，

∴A（﹣2，0），B（8，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式 ，解得 ，

∴直线BC的解析式为y=﹣ x+4

（3）

解：△AOC∽△COB成立．

理由如下：

在△AOC与△COD中，

∵OA=2，OC=4，OB=8，

∴ = ，

又∵∠AOC=∠BOC=90°，

∴△AOC∽△COB．

【解析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式及其对称轴方程；（2）由抛物线解析式可求得A、B、C的坐标，根据待定系数法可求得直线BC的解析式；（3）由A、B、C的坐标可求得OA、OC、OB的长，根据相似三角形的判定可证明△AOC∽△COB．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．