Question

【题目】如图，抛物线y=﹣ x2+ x+ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）

A.（4，3）
B.（5， ）
C.（4， ）
D.（5，3）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：连接PC、PO、PA，设点P坐标（m，﹣ ）
令x=0，则y= ，点C坐标（0， ），
令y=0则﹣ x2+ x+ =0，解得x=﹣2或10，
∴点A坐标（10，0），点B坐标（﹣2，0），
∴S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC= × ×m+ ×10×（﹣ ）﹣ × ×10=﹣ （m﹣5）2+ ，
∴x=5时，△PAC面积最大值为 ，
此时点P坐标（5， ）．
故点P坐标为（5， ）．

【考点精析】本题主要考查了二次函数的最值和抛物线与坐标轴的交点的相关知识点，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能正确解答此题．