Question

【题目】如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接PB、PC，求△PBC的面积；
（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线y=﹣x+3与x轴相交于点B，

∴当y=0时，x=3，

∴点B的坐标为（3，0），

∵y=﹣x+3过点C，易知C（0，3），

∴c=3．

又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，

根据抛物线的对称性，

∴点A的坐标为（1，0）．

又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），

∴

解得：

∴该抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3

（2）

解：如图1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

又∵B（3，0），C（0，3），

∴PC= = =2 ，PB= = ，

∴BC= = =3 ，

又∵PB2+BC2=2+18=20，PC2=20，

∴PB2+BC2=PC2，

∴△PBC是直角三角形，∠PBC=90°，

∴S△PBC= PBBC= × ×3 =3

（3）

解：如图2，由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，得P（2，﹣1），

设抛物线的对称轴交x轴于点M，

∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，

∴∠PBM=45°，PB= ．

由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，

由勾股定理，得BC=3 ．

假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

①当 = ，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC．

即 = ，

解得：BQ=3，

又∵BO=3，

∴点Q与点O重合，

∴Q1的坐标是（0，0）．

②当 = ，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC．

即 = ，

解得：QB= ．

∵OB=3，

∴OQ=OB﹣QB=3﹣ ，

∴Q2的坐标是（ ，0）．

③当Q在B点右侧，

则∠PBQ=180°﹣45°=135°，∠BAC＜135°，

故∠PBQ≠∠BAC．

则点Q不可能在B点右侧的x轴上，

综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（ ，0），

能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

【解析】本题主要考查待定系数法、方程、函数及三角形相似等知识，也考查了综合运用数学知识、分析问题、解决问题的能力以及数形结合、分类讨论的思想，正确运用分类讨论是解题关键．（1）根据二次函数的对称性，已知对称轴的解析式以及B点的坐标，即可求出A的坐标，利用抛物线过A、B、C三点，可用待定系数法来求函数的解析式（2）首先利用各点坐标得出得出△PBC是直角三角形，进而得出答案；（3）本题要先根据抛物线的解析式求出顶点P的坐标，然后求出BP的长，进而分情况进行讨论：①当 = ，∠PBQ=∠ABC=45°时，根据A、B的坐标可求出AB的长，根据B、C的坐标可求出BC的长，已经求出了PB的长度，那么可根据比例关系式得出BQ的长，即可得出Q的坐标．②当 = ，∠QBP=∠ABC=45°时，可参照①的方法求出Q的坐标．③当Q在B点右侧，即可得出∠PBQ≠∠BAC，因此此种情况是不成立的，综上所述即可得出符合条件的Q的坐标．
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．